图3 图4 图5
（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PG．
在Rt△PMH中，PM?2t，PH?MH?t．所以P'G?2t?4．
113在Rt△PNH中，PH?t，NH?PH?t．所以MN?t．
222133① 如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时S??t?t?t2．
224②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面
P'G?，所以?2t?4?3232积．由于S△P'DC??S?△P'DC???t?(2t?4)． ??4S△PMN?PH??t?4339此时S?t2?(2t?4)2??t2?12t?12．
444
考点伸展
第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：
方法一，按照对角线相等画圆．以P为圆心，OB长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．
方法二，按照对边相等画圆．以B为圆心，OP长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．
22
例6 2010年杭州市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y ＝
12x?1，点C的坐标为(–4，40)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上．
(1) 写出点M的坐标；
(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时． ① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10杭州24”，拖动点Q在抛物线上运动，从t随x变化的图象可以看到，t是x的二次函数，抛物线的开口向下．还可以感受到，PQ∶CM＝1∶2只有一种情况，此时Q在y轴上；CM∶PQ＝1∶2有两种情况．
思路点拨
1．第（1）题求点M的坐标以后，Rt△OCM的两条直角边的比为1∶2，这是本题的基本背景图．
2．第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t与x的比例式，从而得到t关于x的函数关系．
3．探求自变量x的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况． 4．梯形的两底的长度之比为1∶2，要分两种情况讨论．把两底的长度比转化为QH与MO的长度比．
满分解答
(1)因为AB＝OC＝ 4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2．将x＝2代入y＝
12x?1，得y＝2．所以点M的坐标为（0，2）． 4(2) ① 如图2，过点Q作QH ? x轴，设垂足为H，则HQ＝y?12x?1，HP＝x– t ． 4因为CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即
HQOM1111??．所以x2?1?(x?t)．整理，得t??x2?x?2． HPOC242212如图3，当P与C重合时，t??4，解方程?4??x?x?2，得x?1?5．
2如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝? 2． 因此自变量x的取值范围是x?1?5，且x?? 2的所有实数．
图2 图3 图4
PQHQHQOM??，即． CMOMPQCMPQHQ111??时，HQ?OM?1．解方程x2?1?1，得x?0（如图5）当．此CMOM224时t??2．
PQHQ1??2时，HQ?2OM?4．解方程x2?1?4，得x??23． 当
CMOM4如图6，当x?23时，t??8?23；如图6，当x??23时，t??8?23．
②因为sin∠QPH＝sin∠MCO，所以
图5 图6 图7
考点伸展
本题情境下，以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢？
?12??1??1?设点Q的坐标为?x,x?1?，那么QM2?x2??x2?1???x2?1?．
?4??4??4?12而点Q到x轴的距离为x?1．
4因此圆Q的半径QM等于圆心Q到x轴的距离，圆Q与x轴相切．
221.6 因动点产生的面积问题
例 7 2012年河南省中考第23题
12
x?1与抛物线y＝ax＋bx－3交于A、B两2点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
如图1，在平面直角坐标系中，直线y?（1）求a、b及sin∠ACP的值； （2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．
思路点拨
1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．
2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．
3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．
满分解答
1x?1与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)． 225在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以AE?5．所以sin?AEO?．
525因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此sin?ACP?．
5?4a?2b?3?0,将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得?
?16a?4b?3?3.11解得a?，b??．
22111（2）由P(m,m2?m?3)，C(m,m?1)，
2221111得PC?(m?1)?(m2?m?3)??m2?m?4．
2222252512595所以PD?PCsin?ACP?． PC?(?m?m?4)??(m?1)2?5525595所以PD的最大值为．
55（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，m?；
232当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，m?．
9（1）设直线y?图2
考点伸展
第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
而DN?PDcos?PDN?PDcos?ACP?BM＝4－m．
525121?(?m?m?4)??(m?2)(m?4)， 5525195①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，?(m?2)(m?4)?(4?m)．解得m?．
510232110②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，?(m?2)(m?4)?(4?m)．解得m?．
959
1.7 因动点产生的相切问题
例8 2012年无锡市中考模拟第28题
如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒3厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．
（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公