图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，△ADE的面积随m的增大而增大，△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，△CDE的面积最大．
思路点拨
1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．
2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．
满分解答
1231x?x?9?(x?3)(x?6)，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)． 222所以AB＝9，OC＝9．
（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．
SAE2． 所以?ADE?()S?ACBAB181而S?ACB?AB?OC?，AE＝m，
22AE2m811所以s?S?ADE?()?S?ACB?()2??m2．
AB922m的取值范围是0＜m＜9．
（1）由y?图2 图3
CDBE9?m（3）如图2，因为DE//CB，所以． ??ADAEmSCD9?m因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以?CDE?． ?S?ADEADm9?m12191981所以S?CDE??m??m2?m??(m?)2?．
m222228
981时，△CDE的面积最大，最大值为． 289此时E是AB的中点，BE?．
2如图3，作EH⊥CB，垂足为H．
当m?3313． ?131393132713在Rt△BEH中，EH?BE?sinB??． ?21326729当⊙E与BC相切时，r?EH．所以S??r2??．
52在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以sinB?考点伸展
在本题中，△CDE与△BEC能否相似？
如图2，虽然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE与△BEC不能相似．
第三部分图形运动中的计算说理问题
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题
例1 2013年南昌市中考第25题
已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜?＜an）与x轴的交点为An－1(bn－1,0)和An(bn,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推
（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；
依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）； 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________； （3）探究下列结论：
①若用An－1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出An－1 An；
②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
备用图（仅供草稿使用）
动感体验
请打开几何画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．
请打开超级画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．
思路点拨
1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．
2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上． 3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．
满分解答
（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0． 所以符合题意的a1＝1．
此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2． 将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0． 所以符合题意的a2＝4．
此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)． （2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)； 第n条抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)；
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x． （3）①如图1，A0A1＝2．
由第（2）题得到，第n条抛物线yn＝－(x－an)2＋an的顶点坐标为(n2，n2)． 所以yn＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．
所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为An－1(n2－n,0)和An(n2＋n,0)． 所以An－1 An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．
②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．
图1
考点伸展
我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．
第一步，由yn＝－(x－an)2＋an，得抛物线的顶点坐标为(an, an)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知an＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．
第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点． 第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例2 2013年江西省中考第24题
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： （1）操作发现：
在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．
①AF＝AG＝
1AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME． 2（2）数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．
请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．
思路点拨
1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．
2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线． 3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？
满分解答
（1）填写序号①②③④．
（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高， 所以F、G分别是AB、AC的中点．
又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．
所以MF?11AC，MG?AB，MF//AC，MG//AB． 22所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．
所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．
因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线， 所以EG?11AC，DF?AB． 22所以MF＝EG，DF＝NG．
所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME． （3）△MDE是等腰直角三角形．
图4 图5
考点伸展
第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．
如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．
如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE． 如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．