共点？ 图一
动感体验
请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．
请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．
答案 （1）因为AQ?t，AP?3t?t，所以AQ?AP．因此PQ//BC．
AB2ABACAC23211（2）如图2，由PQ＝PH＝PC，得t?(23?3t)．解得t?43?6．
22如图3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．所以Q是AB的中点，t＝1． 如图4，由PQ＝PC，得t?23?3t．解得t?3?3． 如图5，当P、C重合时，t＝2．
因此，当t?43?6或1＜t≤3?3或t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点．
当43?6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
图2 图3 图4 图5
1.8 因动点产生的线段和差问题
例9 2013年天津市中考第25题
在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA． （1）如图1，求点E的坐标；
（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．
①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2
取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′
22
运动到AO的中点时，A′B＋BE′取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．
请打开超级画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′
22
运动到AO的中点时，A′B＋BE′取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．
思路点拨
1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m． 2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．
3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．
满分解答
（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA． 所以
24AOBO．因此?． ?OE2OEOA解得OE＝1．所以E(0,1)．
（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2． 在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2． 所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27． 所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．
此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)． ②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为(,1)．
87图3 图4
考点伸展
第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′， 所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．
当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．
在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′＝53． 当A′、B、E′′三点共线时，解得m?
m2A'OA'O'．所以?． ?47BOE''O'88．此时E'(,1)．
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第二部分 函数图象中点的存在性问题
2.1 由比例线段产生的函数关系问题
例1 2013年宁波市中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．
①求证：∠BDE＝∠ADP；
②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状，y是x的一次函数．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．
请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．
答案
（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4． （2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；
②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A， 因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．
所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到y?2x．
图2 图3 图4
（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下： 由△DMB∽△BNF，知BN?
1DM?2． 22． 3设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得m?因此D(0,)．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)． ②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．
43图5 图6
2.2 由面积产生的函数关系问题
例2 2012年广东省中考第22题
如图1，抛物线y?123x?x?9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、22AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．