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这样就得到差分格式（2.4）的截断误差为O(?)?O(h2)。事实上，对于不在边界上的任何一点(x,t)，可以定义（2.4）式的截断误差T(x,t)为
11T(x,t)???tu(x,t)?a2?x2u(x,t)，
?h由截断误差的定义及以上例子可知，只要网格剖分得很细，即?和h很小，那么
偏微分方程的解近似地满足相应的差分方程。其实，一个有限差分格式的截断误差表示了用u(xj,tn)（偏微分方程的解）代替unj（差分方程的解）的差分方程与偏微分方程在点(xj,tn)上的差。
2.5有限差分格式的相容性
从偏微分方程建立差分方程时，总是要求当??0,h?0时差分方程能与微分方程充分“接近”，这就导致了差分方程的一个基本特征，差分格式的相容性。
考虑一般性的问题，设L为微分算子，初值问题可以叙述为
?Lu?0, ? （2.5）
?u(x,0)?g(x).其差分格式可以统一写成
?1?Lhun un （2.6） jj，
其中Lh是一个依赖于?和h的线性算子，称为差分算子，它把定义在第n层上的函数
n?1层上的函数un?1。 un变换到定义在第jj
设（2.6）式为（2.5）式的差分格式，则相应的截断误差应是 1T(xj,tn)?(Lhu(xj,tn)?u(xj,tn)),
?定义2.6 设u(x,t)是定解问题（2.5）的充分光滑解，（2.6）式为求解问题（2.5）所得的差分格式，如果，当?,h?0时有
T(xj,tn)?0，
则称差分格式（2.6）与定解问题（2.5）是相容的。由此可知，相容性表达了微分方程与差分方程间的关系。
2.6有限差分格式的收敛性
构造一个差分格式，它是否能在实际中应用，应该考虑当时间步长?和空间步长h7 - -
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无限缩小时，差分格式的解能否逼近微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。
定义2.7 设u(x,t)是偏微分方程的解，unj是逼近这个微分方程的差分格式的“真解”，所谓真解是指在求解差分格式的过程中忽略了各种类型的误差。如果当时间步
n长?和空间步长h趋向于0时，enj?u(xj,tn)?uj?0，我们称差分格式是收敛的。
应该注意的是，收敛性和相容性是两个完全不同的概念。对于一个相容的差分格式，从定义判断其是否收敛是不容易的，通常需要寻求一些判别差分格式的收敛准则。不加证明地，我们给出如下定理。
定理2.1（Lax等价定理） 给定一个适定的线性初值问题以及与其相容的差分格式，则差分格式的稳定性是差分格式收敛性的充分必要条件
在应用中，差分格式的相容性是容易验证的，只要使截断误差趋于0就可以了。有了Lax等价定理，我们可以着重于差分格式的稳定性的讨论，一般不再讨论收敛性问题。差分格式一旦具有稳定性，就可以用差分格式计算出偏微分方程的近似解来。
2.7有限差分格式的稳定性
2.7.1判断稳定性的直接法
?1利用有限差分格式进行计算时是按时间逐层推进的，计算第n?1层上的值unj要?1用到第n层上的计算结果，而前一步的舍入误差必然会影响到unj的值。所以要分析
这种误差传播的情况，我们希望误差的影响不会越来越大以至于掩盖差分格式的解的面貌，这就是所谓稳定性问题。
差分格式可以统一写成（2.6）式，重复应用该式，有
n0unj?Lhuj' (2.6 )为了度量误差及其他应用，引入范数
?2?||un||h???(un)h?j?j????
现在给出差分格式（2.6）的稳定性描述。
?120nn定义2.8 设u0 有一个误差，则就有一个误差?u?jjjj。如果存在一个正常数K，
使得当???0,n??T时，一致地有
n||K?|0| | | （2.7） ||??
则称差分格式（2.6）是稳定的。
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2.7.2判断稳定性的Fourier方法
按差分格式稳定性的定义来直接验证其稳定性往往比较复杂，对于现行常系数偏微分方程初值问题可以用Fourier变换来进行求解和研究。Fourier积分和Fourier变换是很多数学分支用到的有利工具，本文用于差分方法的分析。
1、Fourier变换的定义：
从Fourier级数出发进行推导可以得到Fourier积分，所谓Fourier积分公式，是指定义在(??,??)上的函数v(x)的一个关系式，设
?1????1?i?(??x)。令v(x)?v(?)ed?d?v(?)?2???????2?Fourier变换[9]。
?????|v(x)|dx??，有关系式
??????v(x)e?i?xdx，则v(?)称为v(x)的
2、线性常系数方程的Fourier方法
由于解un为了应用Fourier方法讨论方程（2.1）j及初值g(xi)只在网格点上有意义，的第一类初值问题，需要扩充这些函数的定义域，使它们在整个实轴R上都有定义。令
U(x,tn)?unj,xj?hh?x?xj?22hh?(x)?g(xj),xj??x?xj?22
这样，U(x,tn)，?(x)对任意x?R都有定义。
例2.4 以差分格式 为例讨论Fourier方法。 （2.9）式可以写为
12?????1un?unjj??an?1unj?ujh2?0 （2.9）
U(x,nt?1)?U(xn,t?)?a[U(nx,?t)U?(xnh,t)] （2.10）
?ik(x?h)U(k,t)edk?n????
???对（2.10）式两边用Fourier积分，可以得到
1U(k,t)edk?n?1???2?ikx?1U(k,t)edk?a??n????2????ikx1U(k,t)edk?n???2????ikx消去eikx可得
U(k,tn?1)?[1?a?(1?e??ikh)]U(k,tn)?
以上方法推广到一般形式的差分格式可以得到
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??U(k,tn?1)?G(?,k)U(k,tn)
式中G(?,k)为增长因子，显然差分格式（2.9）的增长因子为G(?,k)?[1?a?(1?e?ikh)]。
不加证明地，我们给出以下结论：
差分格式稳定的充分必要条件是存在常数?0?0,K?0使得当???0,n??T,k?R时，有
||G(?,k)n||?K
上式也称为von Neumann条件[10]。
3、线性常系数方程组的Fourier方法
稳定性的概念及相关Fourier方法的推导可以推广到线性常系数方程组。这在下面我们讨论Richardson差分格式时需要用到。
一般的差分方程组可以写为
u?nj?n?1j?a??l?A(x,?)Tajlau
?nj其中u?Rp,Aa(x,?)?Rp?p。由于h?g(?)，即h和?满足一定关系，故在Aa(x,?)中仅标出?。令
C(xj,?)?a??l?A(x,?)Tajla
则有
u?n?1j（2.11） ?C(xj,?)u
?nj其中C(xj,?)称为差分算子，上式为一个差分格式。 由（2.11）式可以得出
u?[C(xj,?)]u
如果C(xj,?)不依赖于xj，即为常系数差分方程组，则可利用Fourier积分得到
?????njn?0jU(k,tn?1)?G(?,k)U(k,tn)，
????U(k,tn?1)?G(?,k)U(k,tn)，
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??其中U(k,tn)?Rp，G(?,k)?Rp?p，称G(?,k)为增长矩阵。
类似于差分方程的情况，我们有如下结论：
差分格式（2.11）稳定的充要条件是存在常数?0?0,K?0使得当???0,n??T,
k?R时，有
||G(?,k)n||?K
定理2.2 差分格式（2.11）稳定的必要条件是当???0,n??T,k?R时，有
|?j(G(?,k))|?1?M?,j?1,2,…,p，
其中?j(G(?,k)n)表示G(?,k)的特征值，M为常数。
定理2.3[11] 当G(?,k)只有一个元素时，von Neumann条件是差分格式稳定的充要条件。
对于Fourier方法，还有很多定理和推论可以帮助我们更加容易的判断不同性质的差分格式的稳定性，本文仅给出了需要用到的基本定理。
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