济南大学毕业论文 nnu0j?sin?xj,j?0,1,2,…,10,u0?u10?0 从式（4.4）可以看出，Crank-Nicloson格式也是一个隐格式，不能逐步求解。与向后差分方法类似，由式（4.4）可以得到若干个九元的线性方程组，该方程组的系数矩阵严格对角占优，方程可解，同样采用追赶法求解。 所求结果如表4.5： =0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.4 =0.5 =0.6 =0.7 =0.8 =0.9 =0.005 =0.01 =0.02 =0.03 0 0.294254 0.559704 0.770367 0.90562 0.952226 0.905621 0.770367 0.559704 0.294254 0 0.280196 0.532965 0.733563 0.862355 0.906734 0.862355 0.733563 0.532965 0.280196 0 0.254063 0.483257 0.665147 0.781927 0.822166 0.781927 0.665147 0.483257 0.254063 0 0.230368 0.438186 0.603111 0.709 0.745486 0.709 0.603111 0.438186 0.230368 =0.04 0 0.208882 0.397318 0.546861 0.642874 0.675958 0.642874 0.546861 0.397318 0.208882 =0.05 0 0.189401 0.360261 0.495857 0.582915 0.612913 0.582915 0.495857 0.360261 0.189401 =0.06 0 0.171736 0.326661 0.449611 0.528549 0.555749 0.528549 0.449611 0.326661 0.171736 =0.07 0 0.155719 0.296195 0.407677 0.479253 0.503917 0.479253 0.407677 0.296195 0.155719 表4.5 当x?0.2时，数值解与解析解比较如表4.6： 时刻 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 数值解 解析解 误差 0.000221 0.000421 0.000762 0.001037 0.001253 0.001419 0.001544 0.001633 0.559704 0.559483 0.532965 0.532544 0.483257 0.482495 0.438186 0.437149 0.397318 0.396065 0.360261 0.358842 0.326661 0.325117 0.296195 0.294562 表4.6 当t?0.07时，数值解与解析解比较如图4.3： 22 - -济南大学毕业论文 图4.3 从结果来看，Crank-Nicloson格式是稳定的，误差也比较小，收敛阶是?的二阶，且随着时间层的增长误差逐渐增大，这是因为在求解方程组的过程中，各方程之间的表达式是相互关联的，前面方程的解对后面的解产生影响，而本身数值解法是存在误差的，所以随着求解过程的深入，误差会越来越大。但是总体来看，绝对误差逐渐增大，相对误差的变化幅度还是比较小的。 （4）Richardson格式为 ?1n?1un?ujj2??annun?2u?uj?1jj?1h2?0 写成便于计算的格式为 初边值条件的格式为 nnu0?sin?x,j?0,1,2,…,10,u?ujj010?0 ?1nnn?1un?unjj?1?2uj?uj?1?uj （4.5） 分析（4.5）式可知，Richardson格式是一个三层显示格式，能够逐层进行计算。令n?1，01我们可以看到u2j的计算不仅需要初值uj，还需要uj，在这里，我们引用向前差分格式中计算所得的u1j。 计算结果如表4.7： =0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.4 =0.5 =0.6 =0.005 =0.01 =0.02 =0.03 =0.04 =0.05 =0.06 =0.07 0 0.293893 0.559017 0.769421 0.904508 0.951056 0.904509 0 0.280248 0.533065 0.7337 0.862517 0.906905 0.862516 0 0.254159 0.48346 0.665408 0.782241 0.822509 0.782229 0 0.230433 0.438588 0.603428 0.709432 0.746115 0.709296 23 - -0 0.207948 0.399232 0.546484 0.642927 0.678519 0.641227 0 0.174759 0.380467 0.486275 0.574431 0.640688 0.551696 0 -0.02023 0.574799 0.339571 0.376832 0.948007 0.059067 0 -2.27598 3.317385 -0.64845 -2.07622 6.360319 -6.64484 济南大学毕业论文 0.769421 0.733701 0.66542 0.603592 0.548783 0.519255 0.820976 6.459368 =0.8 0.559017 0.533065 0.483455 0.438484 0.397457 0.352067 0.133423 -3.44059 =0.9 0.293893 0.280248 0.25416 0.230472 0.2088 0.190083 0.232768 1.726577 表4.7 =0.7 当x?0.2时，数值解与解析解比较如表4.8： 时刻t 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 数值解 解析解 误差 -0.000466 0.000521 0.000965 0.001439 0.003167 0.021625 0.249682 3.022823 0.559017 0.559483 0.533065 0.532544 0.48346 0.482495 0.438588 0.437149 0.399232 0.396065 0.380467 0.358842 0.574799 0.325117 3.317385 0.294562 表4.8 当t?0.07时，数值解与解析解比较如图4.4： 图4.4 从结果来看，Richardson格式是不稳定的，开始时误差比较小，且随着时间层的增长误差迅速增大，也就是说数值解越来越偏离解析解，因此，Richardson格式是没有实用价值的。但是对其稍加改进就可以得到其他稳定的格式，也就是说它可以从另一方面帮助我们认识什么样的差分格式是稳定的。 24 - -济南大学毕业论文
结 论
首先本文给出了偏微分方程及抛物型方程的基本概念，其次给出了差分格式的基本概念，重点介绍了差分格式的收敛性及稳定性，随后针对常系数扩散方程给出了各种差分格式的推导过程及其各种性质，最后举出数值算例对给出的各种差分格式进行应用，以观察其可行性。结果证明，向前差分格式、向后差分格式、Crank-Nicloson格式都是稳定的，或者说在一定条件下是稳定的，Richardson格式是绝对不稳定的。
数值计算主要研究如何利用计算机更好的解决各种数学问题，包括连续系统离散化和离散形方程的求解，在对具体问题进行分析时，数值计算比解析解的方法更方便。几乎所有的偏微分方程都能求出数值解，数值解虽然是近似值，但对于许多方程，近似解可以足够精确，满足应用需求，编程易实现，可以分析误差的界[15]。因此，对于这个问题的研究是有很强的实用性的。
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参 考 文 献
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