济南大学毕业论文
v?n?1?2kh?8a?sin??2?1??1??vn ?0?因此增长矩阵为
?2kh?8a?sinG(?,k)??2?1??1? ?0?其特征值为
?1,2取
1kh224kh2??4a?sin?(1?16a?sin)
2221kh224kh2?1??4a?sin?(1?16a?sin)
222则有
kh 2由定理2.2可知Richardson格式是不稳定的。这种情况的差分格式称为绝对不稳定的。
|?1|?1?4a?sin24、Richardson格式的改进
1953年Du Fort和Frankle对Richardson格式进行了修改，提出了如下的DuFort-Frankle格式[13]
?1n?1un?ujj2??an?1n?1nun?(u?u)?uj?1jjj?1h2?0
这是一个无条件稳定的差分格式，但是其相容性是有条件的。在这里对DuFort-Frankle格式我们不做过多讨论。
事实证明，我们无法构造出无条件相容和无条件稳定的显示格式。
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济南大学毕业论文 4差分解法的应用 下面我们用简单的例子来考察上述差分格式的数值结果。 例4.1 考虑扩散方程[14] ??u?2u??2,0?x?1,t?0,?t?x???u(x,0)?sin?x,0?x?1,?u(0,t)?u(1,t)?0,t?0.?? ? （4.1） 已知其解析解为 u(x,t)?e??tsin?x,0?x?1,t?0 2取J?10,h?0.1,xj?jh，?为时间步长，???2h1解：由于向前差分格式稳定性的条件为a??，所以当h?0.1时，必须取??0.005，2在计算时我们取??0.005。下面我们分别采用向前差分格式、向后差分格式、为网格比。 Crank-Nicloson格式和Richardson格式进行求解，并将结果在x?0.2与t?0.07处与解析解进行比较。 （1）向前差分格式为 ?1un?unjj?写成便于计算的格式为 ?annunj?1?2uj?uj?1h2?0 1n?1nnun?u?(uj?1?2unjjj?uj?1)2 （4.2） 初边值条件的格式为 nnu0j?sin?xj,j?0,1,2,…,10,u0?u10?0 由于向前差分格式为显格式，所以可以逐步求解 nn1取n?0，利用初值u0j?sin?xj和边值u0?u10?0可以算出第一层的值uj。 取n?1，利用u1j和边值，通过式（4.2）可以算出u2j。 如此下去，可以逐层计算出所有unj。 计算结果如表4.1： =0.005 =0.01 =0.02 =0.03 18 - -=0.04 =0.05 =0.06 =0.07 济南大学毕业论文 =0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.4 =0.5 =0.6 =0.7 =0.8 =0.9 0 0.293893 0.559017 0.769421 0.904508 0.951056 0.904509 0.769421 0.559017 0.293893 0 0.279508 0.531657 0.731763 0.860239 0.904508 0.860239 0.731763 0.531657 0.279509 0 0.252818 0.480888 0.661886 0.778093 0.818136 0.778093 0.661886 0.480888 0.252818 0 0.228676 0.434967 0.598681 0.703792 0.740011 0.703792 0.598681 0.434967 0.228676 0 0.206839 0.393432 0.541512 0.636586 0.669346 0.636586 0.541512 0.393432 0.206839 0 0.187088 0.355862 0.489802 0.575797 0.605429 0.575797 0.489802 0.355862 0.187088 0 0.169223 0.32188 0.44303 0.520814 0.547616 0.520814 0.44303 0.321881 0.169223 0 0.153063 0.291144 0.400725 0.47108 0.495323 0.47108 0.400725 0.291144 0.153063 表4.1 当x?0.2时，数值解与解析解比较如表4.2： 时刻t 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 数值解 0.559017 0.531657 0.480888 0.434967 0.393432 0.355862 0.32188 0.291144 解析解 0.559483 0.532544 0.482495 0.437149 0.396065 0.358842 0.325117 0.294562 误差 -0.000466 -0.000887 -0.001607 -0.002182 -0.002633 -0.00298 -0.003237 -0.003418 表4.2 当t?0.07时，数值解与解析解比较如图4.1： 图4.1 从结果来看，当a??1时，向前差分格式是稳定的，而且误差符号是相同的。由219 - -济南大学毕业论文 于求解是逐层进行的，当x取不同的值时，误差都是随着时间层的增大而增大的，并且通过分析可知，每个网点上的误差对于以后各层网点上的影响都不差过其绝对值。所以取x?0.2进行比较是比较有代表性的，这在以下各个方法的分析中也是适用的。 这个格式的优点是简单、易算，但由于截断误差为O(?)?O(h2)，精度不算高，又它仅当a??1时才收敛和稳定，收敛的阶为?的一阶，所以想要算得略为精确些，22h就要缩小?和h。注意到?最大为，于是h缩小一半，?得缩小成四分之一，这就2大大增加了工作量。 （2）向后差分格式为 n?1unj?uj?写成便于计算的格式 初边值条件的格式为 ?annunj?1?2uj?uj?1h2?0 ?1?1k?1k4uk?ukjj?1?uj?1?2uj （4.3） nnu0j?sin?xj,j?0,1,2,…,10,u0?u10?0 由于向后差分格式为隐格式，不能逐步求解。当k?0,1,2,…时，由式（4.3）可以得到若干个九元的线性方程组，该方程组的系数矩阵严格对角占优，方程可解，本文采用追赶法求解。 所求结果如表4.3： =0 =0.1 =0.2 =0.3 =0.4 =0.5 =0.6 =0.7 =0.8 =0.9 =0.005 0 0.289616 0.540428 0.696528 0.62765 0.863016 0.824416 0.532532 0.496696 0.278683 =0.01 0 0.269207 0.497595 0.640317 0.670616 0.786847 0.750741 0.567286 0.453339 0.252676 =0.02 0 0.233218 0.432595 0.57288 0.652463 0.696664 0.661892 0.549391 0.404887 0.217671 =0.03 0 0.218415 0.407225 0.545294 0.628191 0.662546 0.628663 0.528324 0.385849 0.205298 =0.04 0 0.193821 0.364478 0.494521 0.575039 0.602118 0.570689 0.483375 0.351147 0.185117 =0.05 0 0.173798 0.328468 0.448452 0.523496 0.547857 0.519242 0.440487 0.319657 0.168073 =0.06 0 0.156728 0.296991 0.40675 0.475858 0.498371 0.472521 0.401034 0.290969 0.152883 =0.07 0 0.14176 0.269007 0.369057 0.432366 0.453203 0.42991 0.364982 0.264824 0.139126 表4.3 20 - -济南大学毕业论文
当x?0.2时，数值解与解析解比较如表4.4
时刻t 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 数值解 0.540428 0.497595 0.432595 0.407225 0.364478 0.328468 0.296991 0.269007 解析解 0.559483 0.532544 0.482495 0.437149 0.396065 0.358842 0.325117 0.294562 误差 -0.019055 -0.034949 -0.0499 -0.029924 -0.031587 -0.030374 -0.028126 -0.025555 表4.4
当t?0.07时，数值解与解析解比较如图4.2：
图4.2
从结果来看，向后差分格式是稳定的，它的最大优点在于稳定性、收敛性对于一切网格比都成立，网格比增大意味着工作量减少，所以隐式格式当??1时的工作量比显示格式要少，然而从截断误差的角度来看，h也不能太大，否则?太大，误差也就太大，所以更高精度的格式也是十分需要的。 （3）Crank-Nicloson格式为
?1un?unjj??an?1n?1n?1nnn[(u?2u?u)?(u?2u?uj?1jj?1j?1jj?1)]?0 22h写成便于计算的格式为
?1n?1?1nnn?un?unj?1?6ujj?1?uj?1?2uj?uj?1 （4.4）
初边值条件的格式为
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