济南大学毕业论文
3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析
用Taylor级数展开方法求解偏微分方程实际上等价于用差商来近似微商得到相应的差分格式，除此之外也可以用积分的方法。下面用Taylor级数展开的方法来讨论扩散方程初值问题
?u?2u?a2,x?R,t?0?t?x （3.1）
)g(x)?x, R u(x,0? （3.2）
的差分格式。
3.1向前差分格式
假定偏微分方程初值问题的解u(x,t)是充分光滑的。由Taylor级数展开有
?u(xj,tn?1)?u(xj,tn)?un?[]j?O(?),???t??u(xj,tn?1)?u(xj,tn?1)?un2?[]?O(?),j?2??t??u(xj?1,tn)?u(xj,tn)?un?[]j?O(h),??h?x??u(xj,tn)?u(xj?1,tn)?[?u]n?O(h),j?h?x??u(xj?1,tn)?u(xj?1,tn)?[?u]n?O(h2),j?2h?x?u(x,t)?2u(x,t)?u(x,t)2?uj?1njnj?1n??[2]nj?O(h2).2h?x? ? （3.3）
1、差分格式的推导过程
利用（3.3）中第一式和第六式有：
u(xj,tn?1)?u(xj,tn)?au(xj?1,tn)?2u(xj,tn)?u(xj?1,tn)h2??u?2un?[?a2]j?O(??h2)?t?x
如果u是（3.1）式的光滑解，即u是满足
?u?2u?a2?t?x
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的光滑函数，那么，方程（3.1）可以用如下差分方程来近似：
?1un?unjj
??annunj?1?2uj?uj?1h2?0 ， （3.4）
这就是微分方程（3.1）的向前差分格式。它所联系的网点分布为：
2、截断误差
在前面的分析中，我们曾经利用这种差分格式来讨论截断误差的概念，得知其截断误差为O(?)?O(h2)。 3、稳定性分析
用Fourier方法来讨论其稳定性，容易求出（3.1）式的增长因子是
G(?,k)?1?4a?sin2kh2，
1，那么有|G(?,k)|?1，即满足von Neumann条件，所以向前
h221差分格式的稳定性条件是a??。这种情况的差分格式是条件稳定的。
2其中???，如果a??4、收敛性分析
由Lax定理可知，当差分格式稳定时一定是收敛的，所以当a??格式收敛。
1时，向前差分23.2向后差分格式
1、差分格式的推导过程
?1上面构造的差分格式是显式的，即在时间层tn?1上的每一个unj可以独立地根据在
时间层tn上的值unj得出。但是如果采用
u(xj,tn)?u(xj,tn?1)?[?un]j?O(?)?t，
?和（3.3）中的六式，就可以得到扩散方程（3.1）的另一个差分格式
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n?1unj?ujnnunj?1?2uj?uj?1
??ah2?0 （3.5）
这是微分方程（3.1）的向后差分格式。它所联系的网点分布为:
向后差分格式与向前差分格式不同，在新时间层n上包含了3个未知量ununj?1，j，
nnunj?1，因此不能由uj?1直接计算出uj，这种差分格式称为隐式格式。
2、截断误差
考虑其截断误差
12??2uah2?4uT(x,t)???tu(x,t)?a2?xu(x,t)??(x,?)?(?,t)24?h2?t12?x，
1其中??(t??,t),??(x?h,x?h)。因此其截断误差为O(?)?O(h2)。 3、稳定性分析
先把差分格式变形为
?1n?1?1n?a?un?a?unj?1?(1?2a?)ujj?1?uj
h式的增长因子为
其中???2，令uj?vjenhnjki，并把它带入上面方程并消去公因子eikjh，容易求出（3.5）
G(?,k)?1kh1?4a?sin22
由于a?0，所以对任何网格比?都有|G(?,k)|?1。由定理2.3知，差分格式（3.5）是稳定的。 4、收敛性分析
由Lax定理可知，当差分格式稳定时一定是收敛的，所以差分格式（3.5）收敛。
3.3 Crank-Nicloson格式
1、差分格式的推导过程
将向前差分格式与向后差分格式作算术平均，即得Crank-Nicolson格式：
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?1nun?ujj
??a?1n?1?1nnn [(un?unj?1?2ujj?1)?(uj?1?2uj?uj?1)]?0 （3.6）22h[12]
Crank-Nicolson格式又叫六点对称格式，因为这种格式所联系的网点分布为:
Crank-Nicolson格式也是隐式格式。 2、截断误差 令
Lhu?nj?1un?unjjn?1n?1n?!nnnauj?1?2uj?uj?1uj?1?2uj?uj?1?[?] 222hh?将截断误差
T(x,t)?Lhu(xj,tn)?[Lu]nj
在(xj,tn?1)(t2n?121?(n?)?)处展开，则得
2T(x,t)?O(?2?h2)
因此其截断误差为O(?2?h2)。 3、稳定性分析
仍然用Fourier方法。先把差分格式变形为
nnn?1n?1?1?a?un?a?unj?1?2(1?a?)uj?a?uj?1?a?uj?1?2(1?a?)ujj?1
nikjhikjh令un，带入上面方程并消去公因子e，容易求出（3.6）式的增长因子为 j?vjekh2 G(?,k)?kh1?2a?sin221?2a?sin2由于a?0，显然对任何网格比?都有|G(?,k)|?1，由定理2.3知，差分格式（3.6）是稳定的。 4、收敛性分析
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由Lax定理可知，当差分格式稳定时一定是收敛的，所以差分格式（3.6）收敛。
3.4 Richardson格式
1、差分格式的推导过程
利用（3.3）式中的第二式和第六式可以得到Richardson格式：
?1?1un?unjj
2??annunj?1?2uj?uj?1h2?0 （3.7）
从（3.7）式可以看出，这种格式联系到三个时间层，称为三层格式。一般地，一个多于二层的差分格式成为多层差分格式。它所联系的网点分布为：
2、截断误差
这个格式是为了提高差分方程的截断误差所设计的，利用上述方法我们可以很容易的求出其截断误差为O(?2?h2)。单从截断误差这一角度来考虑，这个格式是比较好的，但是以后的分析可以看到，它是没有实用价值的。 3、稳定性分析
首先将（3.7）式变形为
?1?1nnun?un?2a?(unjjj?1?2uj?uj?1)
讨论多层差分格式，一般先化成与其等价的二层差分方程组。Richardson差分方程的等价二层差分方程组为
n?1nnnn??uj?vj?2a?(uj?1?2uj?uj?1), ?n?1n??vj?uj.nT如果令u?[un,vjj]，则上面的方程组可以写成
?n?1j?nju?nj?n?2a????00????4a?n?uj?1??0??00??n?2a??uj??0??00??n?uj?1 0?设u?veikjh，将其带入上式并消去公因子eikjh，可以得
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