数列练习题
数列与数学归纳法单元测试题
参考答案
一、选择题 题1 号 答D 案 二、填空题 13、a?5????6n?2?2 D 3 B 4 B 5 C 6 B n7 B 8 D 9 D 10 B 11 B 12 C (n?1)(n?2) 14、(n?1n)2
n15、
1316 16、
1?x?(2n?1)x?(2n?1)x(1?x)2nn?1
?a4?14三、17、（Ⅰ）由? ∴
?S10?185?a1?3d?14,??110a??1?0?9d9?1??2n185,?3?d ??a1?5??3分
由an?5?(n?1)?3?an?3n?2 ???????????6分
（Ⅱ）设新数列为{bn}，由已知，bn?3?2?2 ??????? 9分 ?Gn?3(2?2?2???2)?2n?6(2?1)?2n. ?Gn?3?218、
解：（1）f(1)?1?a1?1?122123nnn?1?2n?6,(n?N*) ??????????????12分
34?,
f(2)?(1?a1)(1?a2)?384??, 496 f(3)?(1?a1)(1?a2)(1?a3)?4?15?5,
6168
f(4)?(1?a1)(1?a2)(1?a3)(1?a4)?5246
??.82510 。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）推测
f(n)?n?22(n?!).下面用数学归纳法证明：
34,
①当n=1时，f(1)?则 。。。6分 ②当n=k+1时，有
k?32(k?2)?1?22(1?1)?∴等式成立.②假设n=k+1时等式成立∴即f(k)?k?22(k?1),f(k?1)?f(k)?(1?ak?1)?k?22(k?1)?[1?1(k?2)2]?k?22(k?1)n?2?(k?1)(k?3)(k?2)2=
(k?1)?22[(k?1)?1],当n=k+1时，当n=k+1时，等式f(n)?正
整
数
n
，
也成立，由①、
n?22(n?1)②知对任意
f(n)?都成
2(n?1)立. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
19、分析：①利用公式an=Sn－Sn－1代入得出an与an－1之间的关系.②令ak=bm ，再找出k，
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数列练习题
m之间的联系. 解：①当n=1时，由a1=S1=
an?Sn?Sn?1?3232(a1?1)，得出a1=3.当n≥2时，
anan?1?3,?{an}是首项为3的等比数列.????6分
(an?an?1),得:②由an=3n，得：
d1?a2?b1?9,设ak?3是数列{bn}中的第m项,又是{bn}中的第n项,?3?4m?5.?ak?1?3k?1kk?3?3?3(4m?5)?4(4m?3)?3,?ak?1不是{bn}中的项,k
而ak?2?3k?2?9?3?9(4m?5)?4(9m?10)?5是{bn}中的第(9m?10)项.于是k?2kdn?1?ak?2?3.又?dn?1dn?3k?2k3?9,?{dn}是首项为9,公比为9的等比数列,
因此dn=9×9n1=9n. ????????????????????12分
评注：本题中的①，由Sn和Sn—1作两式相减，这是处理类似的关系式的重要的方法，特别是对于an+1=pan+q（p，q为常数）也是有效的.②的解法提供了一种求公共项的方法，若两个数列都是等差数列，则它们的公共项也为等差数列，公差为它们的最小公倍数.若都为等比数列，请读者思考公共项是否仍为等比数列 20、解：∵当n?2时，an?Sn?Sn?1，
—、
∴由an?2Sn22Sn?1得Sn?Sn?1?2Sn22Sn?1----------------------------------2分
1Sn?1Sn?1?2
∴2SnSn?1?Sn?Sn?1?0，两边除以2SnSn?1并整理得，∴数列?∴
1Sn?1??为等差数列，公差为2，首项为1.----------------6分 ?Sn?12n?1?1?2(n?1)?2n?1，∴Sn?12n?1------------------8分 -----------------------10分
∴当n?2时，an?Sn?Sn?1=
?12n?3又a1?1不满足上式，∴an1?1? , n?2?---------12分 ??2n?12n?3?1 ,n?1?21、解：（1）设第n年的养鸡场的个数为an，平均每个养鸡场出产鸡bn万只，
由图（B）可知：a1=30，a6?10,且点(n,an)在一直线上，(n?1,2,3,4,5,6), 所以，an?34?4n,n?1,2,3,4,5,6; ??????????3分 由图（A）可知：b1?1,b6?2,且点(n,bn)在一直线上，(n?1,2,3,4,5,6), 所以，bn?n?45,n?1,2,3,4,5,6; 6525?1.2（万只），a2b2?31.2（万只）
9414a2?26(个),b2=
第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；????6分 （2）由anbn??(n?)?312,当n?2时,(anbn)max?a2b2?31.2（万只），
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第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只. ??????????12分 22、（本小题满分14分）
c?2?0??,?x?a?1?b2解：设 ?x得：(1?b)x?cx?a?0,由违达定理得：?bx?c?2?0?a,?1?b?2?a?02?21x?解得?代入表达式，由f(?2)???, ,f(x)?cc1?c2?b?1?(1?)x?c2?2得c?3,又c?N,b?N,若c?0,b?1,则f(x)?x不止有两个不动点， ?c?2,b?2,于是f(x)?x22(x?1),(x?1).???????????????5分
(1an1an)2（2）由题设得4Sn?2(?1得:2Sn?an?an, （A） ?1)22且an?1,以n?1代n得:2Sn?1?an?1?an?12 （B）
22由（A）?（B）得：2an?(an?an?1)?(an?an?1)即(an?an?1)(an?an?1?1)?0,
?an??an?1或an?an?1??1,以n?1代入(A)得:2a1?a1?a1,
解得a1?0（舍去）或a1??1；由a1??1，若an??an?1得a2?1,这与an?1矛盾，
?an?an?1??1，即{an}是以?1为首项，?1为公差的等差数列，
?an??n； ????????????????????????10分
an2（3）证法（一）：运用反证法，假设an?3(n?2),则由（1）知an?1?f(an)??an?1an?an2(an?1)?12?(1?1an?1)?12(1?12)?22an?2
34?1,即an?1?an(n?2,n?N)
∴an?an?1???a2，而当n?2时,a2?a12a1?21?168?2?83?3;?an?3,
这与假设矛盾，故假设不成立，∴an?3.???????????????14分 证法（二）：由an?1?f(an)得an?1?an22an?2an?1,??2(1an?12)?212?12
得an?1<0或an?1?2,若an?1?0,则an?1?0?3,结论成立； 若an?1?2，此时n?2,从而an?1?an??an(an?2)2(an?1)?0,
即数列{an}在n?2时单调递减，由a2?223，可知an?a2?223?3,在n?2上成
立.?????????????????????????????????14分
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