50（本小题满分12分）
已知f(x)=x3+ax2+bx+c,在x＝1与x＝－2时，都取得极值。 ⑴求a，b的值；
11⑵若x?[－3，2]都有f(x)>?恒成立，求c的取值范围。
c2
11
参考解答
一．1~9 BBDDD CDDA 10~24AAB
二．25~32 1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11 4、?18,?3 5、(??,0) 6、
?2??1[0,]?[,?)33~34（13）7、 8、、 (??,?1)?(2,??),??)?233?t?0
?1 （14）、
三36~42．1．解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以
f(x)?x3?bx2?cx?2,f?(x)?3x2?2bx?c.由在M(?1,f(?1))处的切线方程是6x?y?7?0?3?2b?c?6,?2b?c?3,知?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f?(?1)?6.??即?解得b?c??3.故
?1?b?c?2?1.b?c?0,??所
求
的
解
析
式
是
f(x)?x3?3x2?3x?2.（2）
f?(x)?3x2?6x?3.令3x2?6x?3?0,即x2?2x?1?0.解得 x1?1?2,x2?1?2. 当
当
x?1?2,或x?1?2时,f?(x)?0;1?2?x?1?2时,f?(x)?0.故
在(1?2,1?2)内是减函数，在(1?2,??)内f(x)?x3?3x2?3x?2在(??,1?2)内是增函数，是增函数.
2．（Ⅰ）解：f?(x)?3ax2?2bx?3，依题意，f?(1)?f?(?1)?0，即
?3a?2b?3?0,解得a?1,b?0. ?3a?2b?3?0.?∴f(x)?x3?3x,f?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1).
令f?(x)?0，得x??1,x?1.
12
若x?(??,?1)?(1,??)，则f?(x)?0，
故f(x)在(??,?1)上是增函数，f(x)在(1,??)上是增函数. 若x?(?1,1)，则f?(x)?0，故f(x)在(?1,1)上是减函数. 所以，f(?1)?2是极大值；f(1)??2是极小值.
（Ⅱ）解：曲线方程为y?x3?3x，点A(0,16)不在曲线上.
3设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0?x0?3x0.
22因f?(x0)?3(x0?1)(x?x0) ?1)，故切线的方程为y?y0?3(x0
32注意到点A（0，16）在切线上，有16?(x0?3x0)?3(x0?1)(0?x0) 3化简得x0??8，解得x0??2.
所以，切点为M(?2,?2)，切线方程为9x?y?16?0.
2a3．解：（1）f'(x)?3ax2?3(a?2)x?6?3a(x?)(x?1),f(x)极小值为f(1)??
a2（2）①若a?0，则f(x)??3(x?1)2，?f(x)的图像与x轴只有一个交点； ②若a?0， ?f(x)极大值为f(1)???f(x)的图像与x轴有三个交点；
a?0，22f(x)的极小值为f()?0，
a③若0?a?2，f(x)的图像与x轴只有一个交点；
④若a?2，则f'(x)?6(x?1)2?0，?f(x)的图像与x轴只有一个交点；
2133⑤若a?2，由（1）知f(x)的极大值为f()??4(?)2??0，?f(x)的图像与x轴只有
aa44一个交点；
综上知，若a?0,f(x)的图像与x轴只有一个交点；若a?0，f(x)的图像与x轴有三个交点。 4．解(I)f?(x)?3mx2?6(m?1)x?n因为x?1是函数f(x)的一个极值点,
所以f?(1)?0,即3m?6(m?1)?n?0，所以n?3m?6
??2??（II）由（I）知，f?(x)?3mx2?6(m?1)x?3m?6=3m(x?1)?x??1???
??m??当m?0时，有1?1?
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2，当x变化时，f(x)与f?(x)的变化如下表： mx f?(x) f(x) 2????,1??? m??1?2 m2??1?,1? ?m??1 0 极大值 ?1,??? ?0 ?0 0 极小值 ?0 调调递减 单调递增 单调递减 2??故有上表知，当m?0时，f(x)在???,1??单调递减，
m??在(1?2,1)单调递增，在(1,??)上单调递减. m（III）由已知得f?(x)?3m，即mx2?2(m?1)x?2?0
2222(m?1)x??0即x2?(m?1)x??0,x???1,1?① mmmm12设g(x)?x2?2(1?)x?，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
mm又m?0所以x2?22??g(?1)?0?1?2???0所以?解之得 ??mmg(1)?0????1?04??m又m?0 34所以??m?0
3?4?即m的取值范围为??,0?
?3?5．解：（Ⅰ）f?(x)?6x2?6ax?3b，
因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0． ?6?6a?3b?0，即?
24?12a?3b?0．?解得a??3，b?4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x3?9x2?12x?8c，
f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)． 当x?(0，1)时，f?(x)?0； 当x?(1，2)时，f?(x)?0； 当x?(2，3)时，f?(x)?0．
所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c． 则当x??0，3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c． 因为对于任意的x??0，3?，有f(x)?c2恒成立，
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所以 9?8c?c2， 解得 c??1或c?9，
因此c的取值范围为(??，?1)(9，??)．
6．解：（Ⅰ）f?(x)?3ax2?2bx?c，由已知f?(0)?f?(1)?0，
?c?0，?c?0，?即?解得?3
3a?2b?c?0，b??a．???2?1?3a3a3?f?(x)?3ax2?3ax，?f??????，?a??2，?f(x)??2x3?3x2．
?2?422（Ⅱ）令f(x)≤x，即?2x3?3x2?x≤0，
?x(2x?1)(x?1)≥0，?0≤x≤12或x≥1．
又f(x)≤x在区间?0，m?上恒成立，?0?m≤12
7.（Ⅰ）∵f(x)为奇函数，
∴f(?x)??f(x)
即?ax3?bx?c??ax3?bx?c ∴c?0
∵f'(x)?3ax2?b的最小值为?12 ∴b??12
又直线x?6y?7?0的斜率为16
因此，f'(1)?3a?b??6 ∴a?2，b??12，c?0． （Ⅱ）f(x)?2x3?12x．
f'(x)?6x2?12?6(x?2)(x?2)，列表如下： x (??,?2) ?2 (?2,2) 2 (2,??) f'(x) ? 0 ? 0 ? f(x) 极大 极小 所以函数f(x)的单调增区间是(??,?2)和(2,??)
∵f(?1)?10，f(2)??82，f(3)?18
∴f(x)在[?1,3]上的最大值是f(3)?18，最小值是f(2)??82 43~48（17）（本小题满分10分）
解：由题意知：f(x)?x2(1?x)?t(x?1)??x3?x2?tx?t，则 f'(x)??3x2?2x?t
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