∵f(x)在区间(?1,1)上是增函数，∴f'(x)?0 即t?3x2?2x在区间(?1,1)上是恒成立，
11 设g(x)?3x2?2x，则g(x)?3(x?)2?，于是有
33 t?g(x)max?g(?1)?5
∴当t?5时，f(x)在区间(?1,1)上是增函数
114 又当t?5时， f'(x)??3x2?2x?5??3(x?)2?，
33在(?1,1)上，有f'(x)?0，即t?5时，f(x)在区间(?1,1)上是增函数 当t?5时，显然f(x)在区间(?1,1)上不是增函数 ∴t?5
（18）（本小题满分12分）
解：（1）f'(x)?3ax2?2bx?3，依题意，
?3a?2b?3?0, f'(1)?f'(?1)?0，即? 解得 a?1,b?0 ┅┅ （3分）
?3a?2b?3?0. ∴f'(x)?x3?3x，∴f'(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1)
令f'(x)?0，得 x??1,x?1 若x?(??,?1)?(1,??)，则f'(x)?0 故f(x)在(??,?1)和(1,??)上是增函数；
1)，则f'(x)?0 若x?(?1， 故f(x)在(?1,1)上是减函数；
所以f(?1)?2是极大值，f(1)??2是极小值。 （2）曲线方程为y?x3?3x，点A(0,16)不在曲线上。 设切点为M(x0,y0)，则y0?x0?3x0 由f'(x0)?3(x0?1)知，切线方程为
16
23 y?y0?3(x0?1)(x?x0)
又点A(0,16)在切线上，有16?(x0?3x0)?3(x0?1)(0?x0) 化简得 x0??8，解得 x0??2
所以切点为M(?2,?2)，切线方程为 9x?y?16?0 （19）（本小题满分14分）
解：f'(x)?12x3?24x2?12x?24?12(x?1)(x?1)(x?2) 令f'(x)?0，得：x1??1,x2?1,x3?2 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：
3322x
f'(x)
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,??)
? 0 － 0 ?
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∴极大值为f(1)?13，极小值为f(2)?8 又f(0)?0，故最小值为0。
最大值与a有关：
（1）当a?(0,1)时，f(x)在(0,a)上单调递增，故最大值为： f(a)?3a4?8a3?6a2?24a
（2）由f(x)?13，即：3x4?8x3?6x2?24x?13?0，得： (x?1)2(3x2?2x?13)?0，∴x?1或x?1?210 3 又x?0，∴x?1或x?1?210 3 ∴当a?[1,1?210]时，函数f(x)的最大值为：f(1)?13 31?210,??)时，函数f(x)的最大值为： 317
（3）当a?(
f(a)?3a4?8a3?6a2?24a （20）（本小题满分12分）
解：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，则 由h2?r2?R2，所以 V?1111?r2h??(R2?h2)h??R2h??h3,(0?h?R) 333313 ∴V'??R2??h2，令V'?0得 h?R
33 易知：h?3R是函数V的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。 3 ∴当h?3R时，容积最大。 336R代入h2?r2?R2，得 r?R 3326? 3 把h? 由R??2?r得 ?? 即圆心角??26?时，容器的容积最大。 326?时，容器的容积最大。 3答：扇形圆心角?? (21) （本小题满分12分）
?y?kx 解：解方程组? 得：直线y?kx分抛物线y?x?x2的交点的横坐标为 2?y?x?x x?0和x?1?k
1111? 抛物线y?x?x2与x轴所围成图形为面积为 S??(x?x2)dx?(x2?x3)|1 002361?k1?kS??(x?x2)dx??kxdx 由题设得
002 ??1?k011(1?k)3(x?x?kx)dx? 又S?，所以(1?k)3?，从而得：
2662 18
3k?1?4 2121ax2?2x?1 (22) 解：（1）b?2时，函数h(x)?lnx?ax?2x，且h'(x)??ax?2??
2xx∵函数h(x)存在单调递减区间，∴h'(x)?0有解。 又∵x?0，∴ax2?2x?1?0 有 x?0的解。
① 当a?0时，y?ax2?2x?1为开口向上的抛物线，ax2?2x?1?0总有 x?0的解;
② 当a?0时，y?ax2?2x?1为开口向下的抛物线，而ax2?2x?1?0有 x?0的解，则
??4a?4?0，且方程ax2?2x?1?0至少有一正根，此时， ?1?a?0
（2）设点P(x1,y1),Q(x2,y2)，且0?x1?x2，则 点M,N的横坐标为x?x1?x2， 2C1在点M处的切线斜率为k1?12； |x1?x2?x?xx1?x22x1?x2?2C2在点N处的切线斜率为k2?(ax?b)|x?a(x1?x2)?b。 ┅ （9分） 2 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1?k2，即
a(x1?x2)2??b
2x1?x2则
2(x2?x1)a22?(x2?x1)?b(x2?x1)
x1?x22a2a2 ?(x2?bx2)?(x1?bx1)?y2?y1?lnx2?lnx1
22 19
x2?1)xx1所以 ln2? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （11分）
xx11?2x12(设t?x22(t?1),t?1， ① ，则lnt?1?tx12(t?1),t?1，则 1?t令h(t)?lnt?14(t?1)2 h'(t)???22t(1?t)t(t?1)当t?1时，h'(t)?0，所以h(t)在[1,??)上单调递增。 故h(t)?h(1)?0，从而lnt?2(t?1) 这与①矛盾，假设不成立， 1?t∴C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。 ┅┅┅┅ （14分）
49、解：（1）由已知得f/(x)?3x2?2ax?b （2）由（1），f/(x)?3(x?1)(x?3)
?f/(?1)?0?3?2a?b?0?a??3?/??f(3)?0?27?6a?b?0????b??9 ?f(?1)?7??1?a?b?c?7?c?2???当?1?x?3时，f/(x)?0；当x?3时，f/(x)?0 故x?3时，f(x)取得极小值，极小值为f(3)??25
37113?133?1350、解：a＝，b＝－6. 由f(x)min＝－+c>-得 ?c?0或c?22c222
20