（1）求tanα的值； （2）求
的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）根据角α的终边经过点P（1，2），可得x=1，y=2，再根据tanα=计算即可；
（2）由角α的终边经过点P（1，2），利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，代入原式计算即可得答案．
【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（1，2）， ∴x=1，y=2，则tanα==2；
（2）∵角α的终边经过点P（1，2）， ∴sinα=
，cosα=
，
则==．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是基础题．
16．（14分）（2016秋?淮安期末）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，1），C（2，5），求： （1）2
+
的模；
（2）cos∠BAC．
【考点】平面向量的综合题． 【分析】（1）作出图象，从而可得
=（﹣1，1）
=（1，5）；2
+
=（﹣2，
2）+（1，5）=（﹣1，7）；求模即可； （2）cos∠BAC=
【解答】解：（1）如图，故2
+
，代入计算即可． =（﹣1，1）
=（1，5）；
=（﹣2，2）+（1，5）=（﹣1，7）；
故|2+|==5；
（2）cos∠BAC=
===
．
【点评】本题考查了平面向量的应用，同时考查了平面向量的坐标运算，属于中档题．
17．（14分）（2016秋?淮安期末）已知函数f（x）=x2+2xsinθ﹣1，x∈[﹣]． （1）当
时，求函数f（x）的最小值；
，]上是单调增函数，且θ∈[0，2π]，求θ的
，
（2）若函数f（x）在x∈[﹣取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）当θ=
时，f（x）=x2+x﹣1=（x+）2+，利用二次函数的性质
求得f（x）的最大值和最小值．
（2）利用f（x）=x2+2xsinθ﹣1的对称轴为x=﹣sinθ，由题意可得﹣sinθ≤﹣
，
或﹣sinθ≥，求得sinθ的范围，再结合θ的范围，确定出θ的具体范围． 【解答】解：（1）当θ=由于x∈[﹣
时，f（x）=x2+x﹣1=（x+）2﹣，
，]，故当x=﹣时，f（x）有最小值﹣；
当x=时，f（x）有最大值﹣．
（2）因为f（x）=x2+2xsinθ﹣1的对称轴为x=﹣sinθ， 又欲使f（x）在区间[﹣则﹣sinθ≤﹣
，]上是单调函数，
或sinθ≤﹣
，或﹣sinθ≥，即sinθ≥
因为θ∈[0，2π]， 故所求θ的范围是[
，
]∪[
，
]．
【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，考查分类讨论的思想方法，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．
18．（16分）（2016秋?淮安期末）一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图象P0点）开始计算时间，且点P距离水面的高度f（t）（米）与时间t（秒）满足函数：f（t）=Asin（ω+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜（1）求函数f（t）的解析式；
（2）点P第二次到达最高点要多长时间？
）．
【考点】二次函数的性质；已知三角函数模型的应用问题．
【分析】（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得； （2）令f（t）=4sin（解得t．
【解答】解：（1）依题意可知z的最大值为6，最小为﹣2，∴
，∴f（t）=4sin（
﹣
，
）+2，
）=1，
，
）+2=6，）?sin（）=1， =
φ）+2，当t=0时，f（t）=0，得sinφ=﹣，φ=
故所求的函数关系式为f（t）=4sin（（2）令f（t）=4sin（
=
得t=16，
故点P第二次到达最高点大约需要16s．
）+2=6，）?sin（
【点评】本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式，属于中档题．
19．（16分）（2016秋?淮安期末）已知函数f（x）=x+
是奇函数．
（1）若点Q（1，3）在函数f（x）的图象上，求函数f（x）的解析式； （2）写出函数f（x）的单调区间（不要解答过程，只写结果）；
（3）设点A（t，0），B（t+1，0）（t∈R），点P在f（x）的图象上，且△ABP的面积为2，若这样的点P恰好有4个，求实数a的取值范围． 【考点】函数与方程的综合运用；对勾函数．
【分析】（1）f（x）+f（﹣x）=0恒成立，可得b=0．Q（1，3）在函数f（x）的图象上，可得a=2即可． （2）由对勾函数图象可得；
（3）在f（x）的图象上恰好有4个点，使△ABP的面积为2?在f（x）的图象上恰好有4个点到横轴的距离等于4，即f（x）min＜4，2
＜4，解得a．
【解答】解：（1）函数f（x）=x+恒成立，即x+
是奇函数，则f（x）+f（﹣x）=0
?b=0．∴f（x）=x+ （a＞0）．
∵Q（1，3）在函数f（x）的图象上，∴1+a=3，∴a=2，∴f（x）=x+．（x≠0）．
（2）f（x）=x+ （a＞0）．的增区间为：（﹣∞，﹣区间为：（﹣
，0），（0，
）．
），（，+∞）；减
（3）∵点A（t，0），B（t+1，0）（t∈R）在横轴上，且AB=1，
∴在f（x）的图象上恰好有4个点，使△ABP的面积为2?在f（x）的图象上恰好有4个点到横轴的距离等于4，
如图所示，函数f（x）的图象与y=4，y=﹣4各有两个交点，即f（x）min＜4，2＜4，解得0＜a＜4．
∴实数a的取值范围为：（0，4）．
【点评】本题考查了对勾函数的图象及性质，数形结合是解题关键，属于中档题．
20．（16分）（2016秋?淮安期末）已知函数f（x）=2x． （1）解方程f（log4x）=3；
（2）已知不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]（a＞0）对x∈[0，15]恒成立，求实数a的取值范围；
（3）存在x∈（﹣∞，0]，使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）依题意，f（log4x）=3?x=9；
=3，即
=
=3，从而可解得