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几何讲义
1．一圆O切于两条平行线l1,l2，第二个圆?O1切l1于A，外切?O于C，第三个圆?O2切外切?O于D，外切?O1于E，AD交BC于Q，求证Q是?CDE的外心。（35届IMOl2于B，预选题）
证明 由AO1∥BO2，知?AO1E??BO2E??，从而有?AEO1??BEO2，即A,E,B三点共线。同理由OF∥
BO2，可得B,D,F三点共线。又因为
11?EDB?180???EO2B?180???AO1E??EAF，所以A,E,D,F四点共圆，
22BE?BA?BD?BF，即点B在?O1与?O的根轴上。又因为C在?O1与?O的根轴上，所以BC是?O1与?O的根轴。同理AD是?O2与?O的根轴，因此Q为根心，且有QC?QD?QE，即Q是?CDE的外心。
2．非等腰?ABC的内切圆圆心为I，其与BC,CA,AB分别相切于点A1,B1,C1，AA1,BB1分别交圆于A2,B2， ?A证明1B1C1中?C1A1B1,?C1B1A1的角平分线分别交B3,B3，1C1,AC11于点A（1）A2A3是?B1A2C1的角平分线；（2）如果 P,Q是?A1A2A3和?B1B2B3的两个外接圆的交点，则点I在直线 PQ上。（01年保加利亚）
证明 （1）因为?AC1A2∽?AAC1B1，所以有11，?AB1A2∽?AA《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
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C1A2AA2AA2B1A2CACACA，从而有12?11?13，即A2A3是?B1A2C1的角平分线。 ???C1A1AC1AB1B1A1B1A2B1A1B1A3
O，连OI,IA2,OA2,OA1，则OI?A1A2。由于?A1A3A2? （2）设?A1A2A3的外心为
?AC11A2??C1A2A3??C1A1A3??AC11A2??A2OI?1??C1A2B1??C1A1B1??90???AC11A2，所以21?A2OA1?180???A1A3A2?90???AC于是有?IA2O?90?，11A2?90???A2IO，2即IA2与?O相切于A2。同理IB2与?B1B2B3的外接圆相切于B2，从而I在?O与?B1B2B3的外接圆的根轴上，即I ,P,Q三点共线。
3．已知圆O外一点X，由X向圆O引两条切线，切点分别为A,B，过点X作直线，与圆
O交于两点C,D，且满足CA?BD，若CA,BD交于点F，CD,AB交于点G，BD与GX的
中垂线交于点H，证明X,F,G,H四点共圆。（05年日本）
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证明 因为X,D,G,C是调和点列，且?CFD?90?，所以F在关于点X,G的阿波罗尼斯
FD??DFX圆上。连FG,FX，有?GFX。设?G的外接圆与BF交于点H?，则有GH??XH?，
即H?在GX的中垂线上，从而有H??H，因此X,F,G,H四点共圆。
4．若 P,Q到?ABC的三个顶点 A,B,C的距离的比都是 l:m:n，且l,m,n互不相等，则直线 PQ过?ABC的外接圆的一条直径DE。若设?ABC的外接圆圆心为O，则。 OP?OQ?O2D
证明 法一：由于 P,Q到A,C的距离之比为 l:n，则 PQ在阿波罗尼斯圆?G上，其中
AG与?G的交点为K,L，且A,K,C,L为调和点列。设?O与?G交于点F，则
GA?GC?GK2?GF2，因此GF与?O相切于点F，于是OF也与?G相切于点F。同理，
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由于 P,Q到B,C的距离之比为 m:n，则 PQ在阿波罗尼斯圆?M上，设?O与?M交于点
H，于是OH与?M相切于点H。因为OH?OF，所以O在?G与?M的根轴上，从而有
O,P,Q三点共线。设 PQ与?O交于点D,E，则OD2?OF2?OP?OQ，即D,P,E,Q为调
和点列。
法二 由于
APBPCP，则?ABC的外接圆就是关于点 P,Q的阿波罗尼斯圆，从而??AQBQCQO在直线 PQ上，且有OP?OQ?OD2。
5．已知圆心分别为O1,O2的圆?1,?2外切于点D，并内切于圆?，切点分别为E,F，过点
D作?1,?2的公切线l。设圆?的直径AB垂直于l，使得A,E,O1在l的同侧，证明AO1,BO2,EF三线交于一点。（第47届IMO预选题）
证明 设AB的中点为O，E为圆?与圆?1的位似中心，由于半径OB,O1D分别垂直于l，所以OB∥O1D，且有E,D,B三点共线。同理F,D,A三点共线。
设AE,BF交于点C，由于AF?BC,BE?AC，所以D是?ABC的垂心，于是CD?AB，这表明C在直线l上。
设EF与直线l交于点P，下面证明点P在直线AO1上。设AC与圆?1的第二个交点为N，则ND是圆?1的直径，由梅涅劳斯定理的逆定理，要证A,O1,P三点共线，只要证
CACPCANO1DP????1。因为NO1?O1D，所以只要证。设l与AB交于点K，则ANPDANO1DPC《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
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CACKCPCK??，从而只要证，即证C,P,D,K是调和点列。连AP交BC于点X，则ANKDPDKDC,X,F,B是调和点列，因此有C,P,D,K是调和点列。
6．设 ABCD是梯形， AB∥CD，在其两腰 AD,BC上分别存在点 P,Q，使得
?APB??CPD,?AQB??CQD，证明点 P,Q到梯形两对角线的交点的距离相等。（20届全
俄）
证
明
设
?APB与
?CPD的外接圆交于点
Q1，则有
?CQ1P??BQ1P??180???CDP???180???BAP??180?，所以点Q1在 BC 上。又因为?CQ1D??CPD? ?APB??AQ1B，所以Q1?Q。设?APB与?CPD的外接圆半径分别为R1,R2，?APB??，则
AB2R1sin?R1，因此 AC与BD的交点O是 ??CD2R2sin?R2
?APB的外接圆与?CPD的外接圆的位似中心，设?APB与?CPD的外接圆的圆心分别为
O1,O2，则O在O1O2上，且O1O2是PQ的中垂线，于是有OP?OQ。
7．圆S1,S2,S3均与圆S外切，切点分别为A1,B1,C1，并且它们还分别与?ABC的两条边相切，证明AA（20届全俄） 1,BB1,CC1三线共点。
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