欢迎光临《中学数学信息网》 zxsx127@163.com
证明 设?ABC的内切圆的圆心为I，半径为R，?S,?S1,?S2,?S3的半径分别为
?r?H?A,1??R??r?H?A1,??r1????S1??????S。设P为SI上的一点，且满足r,r1,r2,r3，则?I????r??H?P,??R??PSr?，则PIR?I??????S，从而有A,A1,P在一条直线上。同理B,B1,P与C,C1,P均三点共线，即AA1,BB1,CC1三线共点。
8．给定一个半圆周，其直径为 AB，圆心为O，一直线与半圆周相交于点C,D，且与 AB的延长线交于点M，其中MB?MA,MD?MC。设 ?AOC,?BOD的外接圆O1,O2的第二个交点为K，证明?MKO是直角。（21届全俄）
证明 法一 连OO1交?O1于点P，OO2交?O2于点Q，因为O1O2?OK,PQ∥O1O2，且K在PQ上，所以只要证P,Q,M三点共线。由于OP是?O1的直径，因此PA与?O相切。同理PC,QB,QD也均与?O相切。过P作QD的平行线，与DC的延长线交于点E，则
?CEP??MDQ??ECP，所以PE?PC?PA，即?PAE与?QBD均是等腰三角形，且对
《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
欢迎光临《中学数学信息网》 zxsx127@163.com
应边平行，因此对应顶点的连线交于一点，即P,Q,M三点共线。
法二 设AC,BD交于点N，AD,BC交于点H，则H为?NAB的垂心。连MH，分别交AC,BD于点X,Y，则N,C,X,A及N,D,Y,B为调和点列，所以MH是N关于?O的极线，
于是ON?MH。同理OM?NH，且O是?HMN的垂心。由蒙日定理得OK过点N，于是
NT?NCNA?有MH?OK。设NH与 AB交于点T，则NH?点共圆，?HKO??HTO?90?，于是有M,K,H三点共线。
?NKNO?，所以K,O,T,H四
法三 延长OK至S，则?MKO?90???SKD??DKM?90??
?DBO??DKM?90???DKM??DAM?K,A,M,D四点共圆??KAB??CDK。
因
为
C,A关于
PO对称，所以有
?CDK??CDB??KDB??180???CAB???180???KOB???KOB??CAB??KCA??CAB??OCA??OCK??CAB??OAC??KAO??CAB??KAB。
9．设点O是凸四边形 ABCD的对角线的交点，过?AOB的重心与?COD的重心引一条直线，过?BOC的垂心与?AOD的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。（6届全苏）
证明 设?AOB,?BOC,?COD,?AOD的重心分别为 K,L,M,N，则四边形 KLMN是平行四边形，并满足 KL,KN分别平行于 AC,BD， KL =设
ACBDKLAC,KN??，从而有。33KNBD别
为
?AOB,?BOC,?COD,?AODC,?M?,L;的垂心分
K?,L?,M?，N?则
A,?K,?N;?B,均三点共线，且四边形?KM?N?是平行四边形，并满 L?D?M K?L?NOB??，不妨假设??90?，则 ?OBL??90???，足 K?L?,K?N?分别垂直于 AC,BD。设 ?A所以有 K?L?cos? 90?????ACcos?，即 K?L??ACcot?。同理 K?N??BDcot?，于是有
《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
欢迎光临《中学数学信息网》 zxsx127@163.com
K?L?ACKLN?相似，若把其中的一个平行四边形??。因此平行四边形 KLMN与 K?L?M?K?N?BDKN旋转90?，那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线都互相平行，因此有
K?M??LN ,L?N??KM。
10．已知四边形 ABCD是等腰梯形，AD∥BC，把?ABC绕点C旋转某一角度得到?A?B?C，证明线段A?D,BC,B?C的中点在同一条直线上。（23届全苏）
????证明 将?BCB?平移DC得?EFG，则A?D,BC,B?C的中点经位似变换H?D,2?变为
A?,E,G。连EB交AD于K，由于BE?BK?BA，因此有EA?AD,EA?EF，从而?AEG?90???FEG?90??111???EFG???180???EFG2221???BCB2?。因为直ACA角梯形ADFE的腰DF的中点到两个直角顶点的距离相等，所以EC?AC?A?C，即E,A,A?在以C为圆心，以CA为半径的圆上，从而有
1?ACA???AEA?，于是可得 A?,E,G三点共线。 2
11．已知M为?ABC内一点，由M分别向BC,CA,AB作垂线，垂足分别为A?,B?,C?。由
A,B,C分别向B?C?,C?A?,A?B?作垂线，证明这三条垂线交于一点M?。若?A?B?C?的外心为O，
则M?,O,M三点共线，且O是线段MM?的中点。
《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
欢迎光临《中学数学信息网》 zxsx127@163.com
证明 法一 连MO，并延长至M?，使得O是线段MM?的中点。设AM的中点为O?，则O?为由A,C?,M,B?所确定的四边形的外接圆的圆心，因此OO??B?C?。又因为AM?∥
OO?，所以有AM??B?C?。同理可得BM??C?A?,CM??A?B?。
法二 分别延长MA?,MB?,MC?至D,E,F，使得BC,CA,AB分别是MD,ME,MF的中垂线，所以AE?AM?AF，即A是?MEF的外心。同理，B,C分别是?MDF,?MDE的外心。由于由 A,B,C分别向B?C?,C?A?,A?B?作的垂线就是由 A,B,C分别向EF,FD,DE作的垂线，因此也就是EF,FD,DE的中垂线，而EF,FD,DE的中垂线交于一点，且就是?DEF的外心，即点M?。又因为M是?A?B?C?与?DEF的位似中心，且位似比为2，所以M?,O,M三点共线，且O是线段MM?的中点。
12．已知P,Q分别是?ABC的边AC,AB上的点，BP,CQ相交于点D，证明?ABD和
?ACD的内切圆外切的充分必要条件是四边形APDQ有内切圆。（99年保加利亚）
《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
欢迎光临《中学数学信息网》 zxsx127@163.com
CQ的证明 充分性：由?ABD和?ACD的内切圆外切，可得DB?DC?AB?AC。作?A内切圆，过B作该圆的切线BM，交CQ于D1。由于AB?AC?D1B?DC，因此有1，即D?D1。 DB?DC?D1B?DC1必要性：设?ABD和?ACD的内切圆与AD分别切于点N1,N，因为
DB?DC?A?B，所以有ADN?DN1。
13．已知单位面积的凸四边形ABCD及其内一点P，证明这5个点构成的三角形中必有一个的面积不超过
2?1，并证明这个上界是最小的。 2证明 假设两条对角线交于点O，不妨假设P点在?OBC中。假设
?PA,C?PB,D?P,B?C的面积分别为PADS1,S2,S3,S4，PA,PB,PC,PD分别为a,b,c,d，
?APB??,?BPC??,?CPD??,?APD??，因为
sin?sin??sin?sin?? ?1?cos??????cos??????cos??????cos?????? 21cos??????cos???????sin?????sin?????， ?2所以有S?PAB?S?PCD?S1S2?S3S4。若S1,S2,S3,S4均大于2?1，则 2 1?SABCD?S?PAB?S?PCD?S3?S4?2S?PAB?S?PCD?S3?S4?1， 矛盾。
《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》