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sin?2sin?2?sin?2sin?2?sin???2sin???2CD? BC?AD? AC?BD。 ，即 AB?20．设M是?ABC内一点，D,E,F分别是?BCM,?CAM,?ABM的外心，证明
S?DEF?S?ABC，并确定等号成立的条件。
证明 设MA,MB,MC与EF,FD,DE分别交于点A1,B1,C1，?DEF的外心为O，外接圆半径为R，OM?d。因为M在圆O的内部，由欧拉关于垂足三角形的面积公式，有
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S?ABC?4S?A1B1C1?4?R2?d24R2S?DEFR2?d2?S?DEF?S?DEF。等号成立当且仅当d?0，即M2R为?DEF的外心。此时有M为?ABC的垂心，且?ABC是锐角三角形。
21．?1?直角?ABC中，O是斜边AB的中点，PB?AB，PO交AC于点M，PC的延长线交AB于点E，证明?OBM??BCE。（07年第四届东南地区数学奥林匹克）
证明 作?ABC的外接圆O，延长PE，与圆O交于点D，连AD，并与PO的延长线交于点N。因为?BCE??BAD，所以只要证?OBM??BAD。又因为O是AB的中点，因此只要证OM?ON。
?2?设C,D是以O为圆心，AB为直径的半圆上的任意两点，过点B作圆O的切线，交直
线DC于点P，直线PO与直线AC,DA分别交于点M,N，证明OM?ON。（07年第四届东南地区数学奥林匹克）
统一证明 过A作AB的垂线，与直线PO交于点Q，则O是PQ的中点。于是这两个问题都等价于：
已知过圆O的圆心O的直线上的两个点P,Q满足OP?OQ，过P作圆O的割线PCD，过
Q作圆O的切线PA，若AC,AD与直线PQ分别交于点M,N，证明OM?ON。
实际上这个问题还可以更一般化：设一条直线l与一条二次曲线交于点S,T，ST的中点为
O，P,Q为l上的两个点，且满足OP?OQ，过P作圆O的割线PCD，过Q作圆O的割线PEF，若CE,DF与直线l分别交于点M,N，证明OM?ON。
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证明 以O为坐标原点，l为x轴建立平面直角坐标系，二次曲线的方程设为
ax2?bxy?cy2?dx?ey?f?0。当y?0时得ax2?dx?f?0，该二次方程的两个解就是点
S,T的横坐标。因为ST的中点为O，所以d?0，即二次曲线的方程化为
ax2?bxy?cy2?ey?f?0。设P?p,0??,?Q，PEF的方程为p0则PCD?,，
的二次曲线系为
?y?k?x?p???y?k?x?p???012，因此过C,D,E,F特别地，当?取某个特殊值时，ax2?bxy?cy2?ey?f???y?k1?x?p???y?k2?x?p???0。
222该方程就是两条直线CE,DF的方程。当y?0时得ax?f??k1k2x?p?0，该二次方程
??的两个解就是点M,N的横坐标。由于二次方程没有一次项，所以M,N的横坐标的和为0，从而有OM?ON。
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