拉格朗日插值公式的证明及其应用
摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中\线性化\即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估
曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点?xk,fk?k?0是准确的，这些数据点所表现的
n准确函数关系f?x?是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线P?x?且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线P?x?的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线P?x?是否稳定地收敛于未知函数f?x?，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值
１.１. 线性插值的定义
假定已知区间?xk,xk?1?的端点处的函数值yk?f?xk?,
yy=L1(x)yk?1?f?xk?1?,要求线性插值多项式L1?x?使它满足L1?xk??yk, L1?xk?1??yk?1．
y?L1?x?的几何意义:通过两点?xk,yk?和?xk?1,yk?1?的直线，
yk+1y=f(x)yk如图１所示，L1?x?的表达式由几何意义直接给出，即 o x k xk+1xL1?x??yk?yk?1?yk?x?xk? (点斜式)， 图１
xk?1?xkL1?x??x?xk?1x?xkyk?yk?1 (两点式)．
xk?xk?1xk?1?xk由两点式方程看出，L1?x?由两个线性函数lk?x??x?xk?1x?xk,lk?1?x??的线性组合
xk?xk?1xk?1?xk得到,其系数分别为yk及yk?1,即L1?x??yklk?x??yk?1lk?1?x?． 显然,lk?x?及lk?1?x?也是插值多项式,在节点xk及xk?1上满足条件
lk?xk??1， lk?xk?1??0， lk?xk??0， lk?1?xk?1??1．
称函数,lk?x?（图２）及lk?1?x?（图３）为一次插值基函数或线性插值基函数. 图象为：
yy
lk+1(x)11
lk+1(x)oxkxk+1x
oxkxk+1x图2 图3
１.２. 线性插值例题
,sin0.34?0.333487,sin0.36?0.352274,用线性插值计算. 例1. 已知sin0.32?0.314567解：由题意取?0.360.320.34?x2??x0??x1?，?，?．
y?0.352274?y0?0.314567?y1?0.333487?2若取x0?0.32,x1?0.34为节点，则线性插值为：
sin0.3367?L1?0.3367??y0?y1?y0?0.3367?x0?
x1?x00.01892?0.0167?0.330365.
0.02 ?0.314567?若取x1?0.34,x2?0.36为节点，则线性插值为：
sin0.3367?L1?0.3367??y1??0.333487?y2?y1?0.3367?x1?x2?x10.018787???0.0033??0.330387
0.02 .
2
２.二次插值
２.１. 二次插值的定义
若n?2时,假定插值节点为xk?1,xk,xk?1要求二次插值多项式L2?x?,使它满足L2?xj??yj (j?k?1,k,k?1)
y?L2?x?的几何意义:通过三点的?xk?1,yk?1? ,?xk,yk? , ?xk?1,yk?1? 的抛物线. ?
?lk?1?xk?1??1,lk?1?xj??0 ?j?k,k?1?,?lk?xk??1,lk?xj??0 ? j?k?1,k?1?,? ?lk?1?xk?1??1,lk?1?xj??0 ?j?k?1,k?.
例如lk?1?x?，因为它有两个零点xk,xk?1，故可表示为：lk?1?x??A?x?xk??x?xk?1?. 由l1k?1?xk?1??1得A??x?x.
k??x?xk?1?
所以， lk?1?x???x?x?k??x?xk?1?x. k?1?xk??xk?1?xk?1?
同理
l?x?k?1??x?xk?1??x?xk?1??x?xk?k?x???xx， lk?1?x??.
k?xk?1??xk?xk?1??xk?1?xk?1??xk?1?xk?函数lk?1?x?, lk?x? ,lk?1?x?称为二次插值基函数或抛物插值基函数. 在区间?xk?1,xk?1?上的图形分别为:
y
yy1lk-1(x)11lk+1(x)o lk(x)xk-1xkxk+1xoxoxk-1xkxk+1xk-1xkxk+1x
利用二次插值基函数lk?1?x?, lk?x? , lk?1?x?,立即可得到二次插值多项式
L2?x??yk?1lk?1?x??yklk?x??yk?1lk?1?x?
3
显然,它满足条件L2xj?yj ?j?k?1,k,k?1?. 即L2?x??yk?1???x?xk??x?xk?1? + ?x?xk?1??x?xk?1? +
yky?xk?1?xk??xk?1?xk?1??xk?xk?1??xk?xk?1?k?1?x?xk?1??x?xk?
?xk?1?xk?1??xk?1?xk?２.２. 拉格朗日公式（二次插值）在解题中的应用
例2. 已知函数f?x??ax2?c（a,c为实数 ）。若 ?4?f?1???1，则f?8??1?f?2??2，的最大值是多少？
提示：由f?x??ax2?c是偶函数，得f??1??f?1?.
令节点x0??1,x1?1,x2?2，由拉格朗日插值公式（抛物插值）得
l0?8???x?x1??x?x2???8?1??8?2??7
?x0?x1??x0?x2???1?1???1?2??x?x0??x?x2??8?1??8?2???27
?x1?x0??x1?x2??1?1??1?2??x?x0??x?x1??8?1??8?1???21
?x2?x0??x2?x1??2?1??2?1?l1?8??l2?8??f?8??7f??1??27f?1??21f?2??7f?1??27f?1??21f?1??122
注：用高中知识很难解决该题，从此题中可知拉格朗日公式在解题中的方便与快捷.
例3. 已知f?x??x?bx?c求证：f?1?,f?2?,f?3?中至少有一个值不小于
21． 2证明：根据二次函数的插值公式
f?x??x2?bx?c?2?x?2??x?3?f?1???x?1??x?3?f?2???x?1??x?2?f?3? ?1?2??1?3??2?1??2?3??3?1??3?2?比较上式两边x的系数，有
11f?1??f?2??f?3??1 221假若f?1?,f?2?,f?3?都小于，
2则1=
111111111f?1??f?2??f?3??f?1??f?2??f?3??.??.?1 222222222得出矛盾.
1所以，f?1?,f?2?,f?3?中至少有一个值不小于
2注：这是一道全国高中数学联赛题，对高中生有一定难度，但应用高等数学知识来做却易如反掌。从这方面可看出高等数学的学习对我们中学数学教学的指导有重要作用。
4
例4．设a,b,c为非等腰???C的三边长，S为面积。求证：
a3b3c3???2?34S2
?a?b??a?c??b?a??b?c??c?a??c?b?分析：由不等式左边分母联想到拉格朗日插值公式 证明：构造二次多项式：f?x??x3??x?a??x?b??x?c? 则由拉格朗日插值公式得
31?x?b??x?c?a3??x?a??x?c?b3??x?a??x?b?c3?x3??x?a??x?b??x?c? ?a?b??a?c??b?a??b?c??c?a??c?b?比较等式两边x的系数得
2a3b3c3???a?b?c?2p
?a?b??a?c??b?a??b?c??c?a??c?b?由海伦公式得
p4?3p??a?b?c?? S?p?p?a??p?b??p?c??p???327??32因为a,b,c不全相等，所以，上式等号不成立. 于是， p?3S3412?2p?2?3S
3412小结：由此可推广：设x1,x2,?,xn为互不相等的n个数，则
?k?1nj?k1?j?nxk??xi．
??xk?xj?n?的值是多少？ 例5．二次函数f?x?满足f??10??9,f??6??7,f?2???9，则f?2008提示：由拉格朗日插值公式可设
f?x???x?6??x?2?f??10???x?10??x?2?f??6???x?6??x?10?f?2?
??10?6???10?2???6?10???6?2??2?6??2?10?例６．已知4?2,9?3,16?4,求7的近似值 解：令y?x，列表
x y?x 1).用线性插值多项式
x0?4 y0?2 x1?9 x2?16 y1?3 y2?4 三组数据中，可以任取两组数据构造线性插值多项式L1?x?．鉴于插值点所处的位置，应选取
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