?x0,y0?,?x1,y1?构造L1?x?．
L1?x??l0?x?y0?l1?x?y1?x?9x?423?2??3???x?9???x?4? 4?99?455所以 ， 7?L1?7??2.6 2).用抛物插值多项式
用全部数据构造抛物插值多项式L2?x?
L2?x??l0?x?y0?l1?x?y1?l2?x?y2??x?9??x?16??2??x?4??x?16??3??x?4??x?9??4 ?4?9??4?16??9?4??9?16??16?4??16?9?3812???2.6286 5537所以， 7?L2?7??结论：对比n?1,n?2时，抛物插值更精确．
例7.已知f?x??ax?bx?c?a?0?满足?7?f?1???1,?5?f?2??3,?1?f?3??8,求f?4?2的取值范围.
?f?1??a?b?c?分析：解决本题关键是用f?1?,f?2?,f?3?表示f?4?，用高中知识联立方程组?f?2??4a?2b?c
?f?3??9a?3b?c?求出a,b,c并代入f?4??16a?4b?c，从而确定f?4?的取值范围，这样做过程较繁，而使用二次函数的拉格朗日公式却恰到好处.
解：由二次拉格朗日公式得
f?x???11f?1??x?2??x?3??f?2??x?3??x?1??f?3??x?1??x?2? 22则f?4??f?1??3f?2??3f?3? 由已知得?19?f?4??38 3.n次Lagrange插值多项式
上面对n?1及n?2的情况,得到一次与二次插值多项式L1?x?及L2?x?, 用插值基函数表示的方法容易推广到一般情形.下面讨论n?1个节点x0?x1???xn的n次插值多项式Ln?x?,假定它满足条件
Ln?xj??yj
为了构造Ln?x?,先定义n次插值基函数．
?j?0,1,?,n?
（１）
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定义：若n次多项式lj?x? ?j?0,1,?,n? 在n?1个节点x0?x1???xn上满足条件
?1,k?j lj?xk????0,k?j?j,k?0,1,?,n?
就称这n?1个n次多项式l0?x?,l1?x?,?,ln?x?为节点x0,x1,?,xn上的n次插值基函数．类似n?1及n?2的推导方法，可得n次插值基函数为lk?x???x?x0???x?xk?1??x?xk?1???x?xn? ?xk?x0???xk?xk?1??xk?xk?1???xk?xn??k?0,1,?,n?．
满足（１）的插值多项式可表示
Ln?x???yklk?x? （２）
k?0n由lk?x?的定义知Lnxj????yl?x??ykkjk?0nj
?j?0,1,?,n?．
形如(２)式的插值多项式Ln?x?称为Lagrange插值多项式． 令wn?1?x???x?x0??x?x1???x?xn?
'易求wn?1?xk???xk?x0???xk?xk?1??xk?xk?1???xk?xn?
n则（２）可改写为：Ln?x???ykk?0wn?1?x? '?x?xk?wn?1?xk?注意: n次插值多项式Ln?x?通常是次数为n的多项式,特殊情况次数可能小于n．
二．拉格朗日（Lagrang）插值公式的证明
设已知函数f?x?在n?1个互异的点x0,x1,?,xn处的函数值fxj?yj，?j?0,1,?,n?现构造一个次数不超过n的多项式，使满足
??Ln?xk??yk，k?0,1,?,n.（３）
1.唯一存在性
满足插值条件（３）的次数不超过n次的多项式
Ln?x??a0?a1?x?x0??a2?x?x0??x?x1????an?x?x0??x?x1???x?xn? (４)
是唯一存在。
7
证明：把条件（３）带入（４）式得：
?a0?y0?a?a?x?x??y ?01101??????a0?a1?xn?x0????an?xn?x0??xn?x1???xn?xn??yn以a0,a1,??,an的系数组成的行列式为
11Dn??10????????00??x1?x0???xn?x0??xn?x0??xn?x1???xn?xn?1???x1?x0???xn?x0??xn?x1???xn?xn?1?
由于x0,x1,?,xn互异，所以2.证明过程
证明：以x0,x1代入（４）式得：?a0?y0Dn?0，这样a0,a1,??,an有唯一的解，所以Ln?x?唯一存在.
??a0?a1?x1?x0??y1
?a0?y0解得：?
y?y?10a?1?x1?x0?从而有
L1?x??a0?a1?x?x0??y0?这里
y1?y0x?x0?x?x0??y0x?x1?y1?y0l0?y1l1x1?x0x0?x1x1?x0l0?x?x0 x?x1，
l1?x0?x1x1?x0易证：lkxj?????1, k?j .
0, k?j?这就证明了n?2时，公式成立.现假设n?p?1时公式成立，则n?p时，我们把xp代入（４）得
Lp?xp??a0?a1?xp?x0????ap?xp?x0???xp?xp?1?
解得：
8
ap?从而
Lp?xp?ap?a1?xp?x0????ap?1?xp?x0???xp?xp?2??xp?x0???xp?xp?1?（５）
Lp?x??a0?a1?xp?x0????ap?xp?x0???xp?xp?1??Lp?1?x??ap?xp?x0???xp?x1?
把（５）式代入上式得
Lp?x??Lp?1?x??从假设得：L?x??pp?1?xp?x0???xp?xp?1?yp?Lp?1?xn??x?x0???x?xp?1?
?x?x0???x?xk?1??x?xk?1???x?xp?1?
yk??xk?x0???xk?xk?1??xk?xk?1???xk?xp?1?k?0p?1??xp?x0???xp?xk?1??xp?xk?1???xp?xp?1???x-x0???x?xp?1?
??yp??yk???xk?x0???xk?xk?1??xk?xk?1???xk?xp?1??k?0???xp?x0???xp?xp?1????ykk?0p?1p?1?x?x0???x?xk?1??x?xk?1???x?xp?1? ?xk?x0???xk?xk?1??xk?xk?1???xk?xp?1??yp?x?x0???x?xp?1?1??yk??xk?x0???xk?xk?1??xk?xk?1???xk?xp?1?xp?xkk?0p?1?x?x?x0???x?xp?1?p?x0???xp?xp?1?
?x?x0???x?xk?1??x?xk?1???x?xp?1???x?x0???x?xp?1?x?xk??? ??yk?1??yp??????????????x?x?x?xx?x?x?xx?xx?x?x?xk?0k0kk?1kk?1kp?1pk?k0kp?1??x?x0???xk?xp?1??x?xk?1???x?xp?1??x?xp??x?x0???x?xp?1?
??yk?yp?xk?x0???xk?xk?1??xk?xk?1???xk?xp?1??xk?xp??xk?x0???xk?xp?1?k?0p?1??yklk?x?
k?0p这里
?x?x0???x?xk?1??x?xk?1???x?xp? lk?x???xk?x0???xk?xk?1??xk?xk?1???xk?xp?易证：lkxj?????1, k?j
0, k?j?即n?p时成立.得证.
从证明过程可看出，插值基函数的结构和由来是自然而合理的.
三．拉格朗日插值公式在实际生活（资产评估）中的应用
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1．资产评估公式
资产评估就是在利用现时条件下,被评估资产全新状态的重置成本减去资产的各种陈旧贬值后的差额作为被评估资产现时价值,基本计算公式为:
资产价值 = 重置全价 – ( 实体性贬值 + 功能性贬值 + 经济性贬值 ) 2. 理论方法与实际应用分析
假设某类设备n?1个功能参数与价格,即已知n?1个功能参数: x0,x1,?,xn,及其相对 的n?1个价格:y0,y1,y2,?,yn,现在的问题是如何根据此组数据列表:
x y
x0 x1 x2 ? ? xn y0 y1 y2 yn 功能与成本数据表
yyny=f(x)找出功能与成本之间的函数关系:y?f?x?
假设在该参数区间( 插值区间 ) 内存在一条代数多项 式的函数曲线,在该曲线上的数值均满足以上各点的数值对 应关系,以此函数曲线作为关系式y?f?x?的模拟曲线，就 是所谓的拉格朗日插值法.利用这条曲线（图４）,输入新的
y2y1y0ox0x1x2xnx功
功能参数,即可得到重置成本参考价. 图４ 函数曲线 拉格朗日插值多项式为
Ln?x???ykk?0n?x?x0???x?xk?1??x?xk?1???x?xn?
?xk?x0???xk?xk?1??xk?xk?1???xk?xn?(6)
由此公式,代入x0,x1,?,xn时,可看出结果就是对应的y0,y1,y2,?,yn,假设令n?1,即只有两个数据时,就得到两点插值计算公式:
L1?x??y0x?x0x?x1 ( 7 ) ?y1x0?x1x1?x0这是个线性函数,利用已知两点作一条直线,作为拟合曲线,代表功能与成本之间的关系,也叫线性插值( 图 ５ )
若n?2时,则得到3点插值计算公式:
?x?x0??x?x2??x?x0??x?x2??x?x1??x?x2? （8） ??L2x?y0?y1?y2?x0?x1??x0?x2??x1?x0??x1?x2??x2?x0??x2?x1?这是个二次函数,在图形上,即通过已知各点作一条抛物线,代表功能与成本之间的关系,叫抛物线插值( 图６ )
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