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2 数字PID控制与Smith控制系统
数字PID控制在生产过程中是一种最普遍采用的控制方法，在冶金、机械、化工等行业中获得广泛应用。本章主要介绍了PID控制基本原理，数字PID控制算法[4]及Smith预估控制系统。
2.1 PID控制原理
在模拟系统中，控制器最常用的控制规律是PID控制。常规PID控制系统原理框图
如图2.1所示。系统由模拟PID控制器和被控对象组成。
图2.1 模拟PID控制系统原理图
PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值r(t)与实际输出值c(t)构成控制偏差
e(t)?r(t)?c(t) （2.1）
将偏差的比例（P）、积分（I）和微分（D）通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID控制器。其控制规律为
u(t)?KP[e(t)?TDde(t)] (2.2) tdtTI?e(t)dt1?0或写成传递函数
G(s)?U(s)1 ?KP(1??TDS) (2.3）
E(s)TIS式中KP——比例系数 TI——积分时间常数 TD——微分时间常数 简单的说，PID控制器各校正环节的作用入下：
1. 比例环节 即时成比例地反映控制系统的偏差信号e(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。
2. 积分环节 主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时
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间常数TI，TI越大，积分作用越弱，反之则越强。
3. 微分环节 能反映偏差信号的趋势（标化速率），并能在偏差信号值变化之前，在系统中引入有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。
2.2 数字PID控制算法
在计算机控制系统中，使用的数字PID控制器，数字PID控制算法通常又分为位置
式PID控制算法和增量式PID控制算法[4]。 2.2.1 位置式PID控制算法
由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量，因此
式（2.3）中的积分和微分项不能直接使用，需要进行离散化处理。按模拟PID控制算法的算式（2.3）先以一系列的采样时刻点kT代表连续时间t，以和式代替积分，以增量代替微分，则可作如下近视变换：
t?kT (k=0,1,2,?)
?e(t)dt?T?e(jT)?T?e(j)
0j?0j?0tkkde(t)e(kT)?e[(k?1)T]e(k)?e(k?1)?? (2.4) dtTT式中 T—采样周期.
显然，上述离散化过程中，采样周期T必须足够短，才能保证又足够的精度。为书写方便，将e(kT)化表示成e(k)等，即省去T。将式（2.4） 代入（2.2），可得离散的PID表达式为
u(k)?KP{e(k)?TTI?e(j)j?0k?TD}或 (2.5)
T[e(k)?e(k?1)]u(k)?KPe(k)?KI?e(j)?KD[e(k)?e(k?1)] (2.6)
j?0k式中 k-采样序号，k=0，1，2?； u(k)-第k次采样时刻的计算输出值； e(k)-第k次采样时刻输入的偏差值； e(k-1)-第（k-1）次采样时刻输入的偏差值； KI-积分系数，KI =KPT/TI;
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KD—微分系数KD =KPTD/T. 由Z变换的性质
z[e(k-1)]=z-1E(z) z[?e(j)]=E(z)/(1-z-1)
j?0k式（2.6）的Z变换式为 U(z)?KPE(z)?KIE(z)?1?K[E(z)?zE(z)] (2.7) D?11?z由式（2.7）便可得到数字PID控制器的z传递函数为 G(z)? G(z)?KIU(z)?1?KP??K(1?z)或者 (2.8) D?1E(z)1?z1?1?12[K(1?z)?K?K(1?z)] (2.9) PID?11?z数字PID控制器示于图2.2
图2.2 数字PID控制器的结构图
这种算法的缺点是，由于全量输出，所以每次输出均与过去的状态有关，计算时要对e(k)进行累加，计算机运行工作量大。而且，因为计算机输出的u（k）对应的是执行机构的实际位置，如计算机出现故障，u（k）的大幅度变化，会引起执行机构位置的大幅度变化，这种情况往往是生产实践中不允许的，在某些场合，还可能照成重大的生产事故，因而产生了增量式PID控制的控制算法。所谓增量式PID是指数字控制器的输出只是控制量的增量?u(k).
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图2.3 位置式PID控制系统
2.2.2 增量式PID控制算法
当执行机构需要的是控制量的增量时，可由式（2.6）导出提供增量的PID控制算式。根据递推原理可得
u(k?1)?Kpe(k?1)?KI?e(j)?KD[e(k?1)?e(k?2)] (2.10)
j?0k?1用式（2.6）减式（2.10）,可得
?u(k)=KP[e(k)-e(k-1)]+KIe(k)+KD[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)]
=KP?e(k)+KIe(k)+KD[?e(k)-?e(k?1)] (2.11) 式中?e(k)=e(k)-e(k-1)式（2.11）称为增量式PID控制算法。图2.4给出了增量式PID控制系统示意图。
图2.4 增量式PID控制系统框图
由图2.3与图2.4可以看出，就整个系统而言，位置式于增量式控制算法并无本质区别，或者仍然全部由计算机承担其计算，或者一部分由其它部件去完成。增量式控制虽然只是算法作了一点改进，却带来了不少优点：
（1） 由于计算机输出增量，所以误动作时影响小，必要时可用逻辑判断的方法去
掉。
（2） 手动/自动切换时冲击小，便于实现无扰动切换。此外，当计算发生故障时，
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由于输出通道或执行装置具有信号的锁存作用，故能仍然保持原值。 （3） 算式中不需要累加。控制增量?u(k)的确定仅与最近k次的采样值有关，所以
较容易通过加权处理而获得比较好的控制效果。
但增量式控制也有不足之处：积分截断效应大，有静态误差；溢出的影响大。因此，在选择时不可一概而论，一般认为在以晶闸管作为执行器或在控制精度要求高的系统中，可采用位置控制算法，而在以步进电机或电动阀门作为执行器的系统中，则可采用增量控制算法。
2.3 Smith预估控制器
在大多数过程控制系统中，不同程度地存在着时间滞后的工艺过程。时间滞后是纯滞后与容量滞后的总称。纯滞后往往是由于物料能量需要经过一个传输过程而形成的，如皮带运输，辊缝传输，成分测量过程等[5]。
通常，过程的纯滞后时间?与其动态常数T的比值?/T?0.3时，就被认为是具有较大纯滞后的工艺过程了。在这种情况下，若仍采用单回路的PID控制，尽管调节器参数进行了特殊的整定，仍然很难获得良好的控制质量。有时严重的超调，甚至使被控参数超过安全限度而引起停机事故，有时则因造成系统的不稳定而危及设备和人身的安全。
冶金工业生产过程大多是含纯滞后,对于时滞过程,由于滞后的影响,使得被调量不能及时控制信号的动作,控制信号的作用只有在延迟τ以后才能反映到被调量；另一方面,当对象受到干扰而引起被调量改变时,控制作用不能立即对干扰产生抑制作用。这样,含有纯滞后环节的闭环控制系统必然存在较大的超调量和较长的调节时间。因此纯滞后对象也成为很难控制的问题。由于纯滞后过程是一类复杂的过程,所以它的控制问题一直是困扰着自动控制和计算机应用领域的一大难题。因此,对滞后工业过程方法和机理的研究一直受到专家学者普遍的重视。1958年,美国人Smith提出了著名的Smith预估器来控制含有纯滞后环节的对象,从理论上解决了纯滞后系统的控制问题,但是Smith预估器需要知道被控对象的精确的数学模型,且对模型的误差十分敏感,因而难于在工业生产中广泛应用。
20世纪50年代,有史密斯（Smith）和雷斯威克(Reswick)先后提出了以补偿原理构成的系统方案[5]。不过这种补偿原理与前馈补偿是不同的，它是按照过程的特性，设想出一种模型加到反馈系统中，以补偿过程的动态特性。换言之，就是从补偿后的等效对