习 题 六
6-1 一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm．现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后释放并开始计时．求：（1）物体的振动方程；（2）物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；（3）物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm处所需要的最短时间．
[解] （1）取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系
k?60?200N/m
30?10?2设振动方程为 x?Acos??t???
??k?m200?7.07rad/s A?0.1m 4t?0时 x?0.1m 0.1?0.1co?s ??0
故振动方程为 x?0.1cos?7.07t?m （2）设此时弹簧对物体作用力为F，则
F?k??x??k?x0?x?
其中 x0?mg4?9.8??0.196m k200因而有 F?200??0.196?0.05??29.2N （3）设第一次越过平衡位置时刻为t1，且速度小于零，则
0?0.1cos?7.07t1? t1?0.5?7.07
第一次运动到上方5cm处时刻为t2，且速度小于零，则
?0.05?0.1cos?7.07t2? t2?2??3?7.07?
故所需最短时间为：
?t?t2?t1?0.074s
6-2 一质点在x轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过点 A时作为计时起点（t＝0），经过2s后质点第一次经过点B，再经 2s后，质点第二次经过点B，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB?10cm，求：（1）质点的振动方程；（2）质点在A点处的速率．
[解] 由旋转矢量图和|va|?|vb|可知T?4s 由于T?8s,??s?112t?4s18??2????4
A ?t?0sB x t?2s6-1
?（1）以AB的中点为坐标原点，x轴指向右方．
t?0时, x??5?Acos?
t?2s时， x?5?Aco?s2??????Asin?
由以上二式得 tan??1
因为在A点质点的速度大于零，所以???3? 4A?x/cos??52cm
所以，运动方程为：
x?52?10?2cos??t/4?3?/4?m
dx?52??10?2??t3???sin??（2）速度为： v?? dt44??4?52??10?2??3???2sin??当t?2s时 v???3.93?10m/s
44??2
6-3 一质量为M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm，在距平衡位置6cm处，速度为24cms，求：（1）周期T；（2）速度为12cms时的位移．
[解]（1）设振动方程为x?Acos??t???cm 以A?12cm、x?6cm、v?24cm?s?1代入，得：
6?12co?s?t??? （1）
24??12?sin??t??? （2）
由（1）、（2）得
?6??24???????1 12?12?????432?3???2.72s T?3?2（2） 以v?12cm?s?1代入，得：
解得 ??2212??12?sin??t?????163sin??t???
3 413所以 cos??t?????
4解得： sin??t?????6-2
故 x?12cos??t????12??????13????10.8cm 4??
6-4 一谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程．
[解] 设振动方程为： x?Acos??t??? 根据振动曲线可画出旋转矢量图
由图可得： ??2?3
??A?A2??x??
??????5?????2??t?32?12?5?t2???故振动方程为 x?10cos??cm 3??12
6-5 一质点沿x轴作简谐振动，其角频率??10rads，试分别写出以下两种初始状态的振动方程：（1）其初始位移x0＝7.5 cm，初始速度v0?75.0cms；（2）其初始位移x0＝7.5 cm，初速度v0??75.0cms．
[解] 设振动方程为 x?Acos?10t??? （1） 由题意得： 7.5?Acos?
75??10Asin? 解得： ????4 A?10.6cm 故振动方程为：
x?10.6cos?10t??4?cm
（2） 同法可得： x?10.6cos?10t??4?cm
6-3
6-6 一轻弹簧在60 N的拉力作用下可伸长30cm．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4k。待其静止后再把物体向下拉10cm，然后释放．问：（1）此小物体是停止在振动物体上面还是离开它?（2）如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件?二者在何位置开始分离?
[解] （1）小物体停止在振动物体上不分离．
（2） 设在平衡位置弹簧伸长l0，则 kl0?Mg
N60??200Nm l0.3Mg4?9.8故 l0???0.196m
k200又 k?当小物体与振动物体分离时 kA?kl0??Mg?，即 A?l0， 故在平衡位置上方0.196m处开始分离．
6-7 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm，在距平衡位置6cm处，速度是24cms．如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数?是多大?
[解] 设振动方程为 x?12cos??t??? 则： v??12?sin??t??? s以x?6cm v?24cm/代入得：
6?12cos??t??? 24??12?sin??t???
解得 ??最大位移处： a?A?2
43rads 3F?ma?mA?2
由题意，知 ?mg?mA?2
??A?2g?0.0653
6-8 两根倔强系数分别为k1和k2的轻弹簧串接后，上端固定，下端与质量为m的物体相连结，组成振动系统．当物体被拉离平衡位置而释放时，物体是否作谐振动? 若作谐振动，
6-4
其周期是多少? 若将两弹簧并联，其周期是多少?
[解] （1）串接：物体处平衡位置时，两弹簧分别伸长x10、x20
mg?k2x20 （1） k1x10?k2x20 （2）
取平衡位置为坐标原点，坐标向下为正，令物体位移为x，两弹簧再次伸长?x1、?x2，则
F?mg?k2?x20??x2?
由（1）知 F??k2?x2 （3） k1k2k1又 k1?x1?k2?x2 （4）
mmgk2O?x1??x2?x （5）
由（4）、（5）得 ?x2?mmgxk1x （6）
k1?k2k1k2x
k1?k2将（6）代入（3）得 F??看作一个弹簧 F??kx 所以 k?因此物体做简谐振动，角频率
k1k2
k1?k2??k1k2k ?mm?k1?k2?2??2?m?k1?k2?
k1k2周期 T?
?（2） 并接：物体处于平衡位置时，mg?k1x0?k2x0 （7） 取平衡位置为坐标原点，向下为正，令物体有位移x 则 F?mg?k1x1?k2x2 式中x1、x2分别为两弹簧伸长
6-5
k1x0k2mOx