x1?x0?x x2?x0?x
所以 F?mg?k1?x0?x??k2?x0?x? 将（7）代入得 F???k1?k2?x 看作一个弹簧 F??kx 所以 k?k1?k2 因此该系统的运动是简谐振动． 其角频率 ??k?k2k?1 mm因此周期 T?2???2?m k1?k2
6-9 在竖直平面内半径为R的一段光滑圆弧轨道上放一小物体，使其静止于轨道的最低点，如图所示．若触动小物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动，试证明：（1）此物体作谐振动；（2）振动周期
T?2?Rg．
[证明] 取最低点为平衡位置，物体与O点连线偏离OO?的角为?． （1） 物体与O点连线偏离OO??角时，对O点的回复力矩
M??mgRsin?
?很小，故sin???，所以
M??mgR? （1） d2?由于 M?J??mR 2dt2?O?d2?g???0，故物体做谐振动． 根据（1）式有
dt2R（2）令??g 则振动周期 RT?2??2?g R?
6-10 如图所示，半径为R的圆环静止于刀口点O上，令其在自身平面内作微小的摆动．（1）求其振动的周期；（2）求与其振动周期相等的单摆的长度．
[解] （1） 设圆环偏离角度为?，对O点回复力矩
M??Rmgsin?
6-6
d2?M?J??J2
dtJ?mR2?md2?2mR2 d2?2mR??Rmgsin??Rmg?
dt22gd2????0 故圆环所作振动为简谐振动 dt22R令 ??g 2R所以 T?2?2R g（2） 与其振动周期相等单摆的摆长为2R．
6-11 如图所示，质量为m、半径为R的半圆柱，可绕圆柱的轴线O在重力作用下作微振动，已知半圆柱的质心在距轴rc?4R处，求其振动周期． 3?[解] OC偏离中垂线?角时对O点的回复力矩
M??mgrcsin???mgrc?
根据转动定理 ?mgrc??J? 其中 J?1mR2 224R12d???mR?0 代入得 mg23?2dt8gd2????0 即
dt23?R所以 ??8g 3?RT?2???2?3?R 8g
6-12 测量液体阻尼系数的装置如图所示．若在空气中测得振动频
6-7
率为f1，在液体中测得振动频率为f2，求在液体中物体振动时的阻尼因子?．
d2xk?x?0 [解] 在空气中振动方程为 2mdt?0?k md2xdxk?2??x?0 （?为阻尼系数） 在液体中振动方程
dtmdt2对应的振动角频率 ??k??2 m2则 ?0??2??2 22即 4?2?1?4?2?2??2
2所以 ??2??12??2
6-13 一弹簧振子，当位移是振幅之半时，该振动系统的动能与总能量之比是多少?位移为多大时，动能和势能各占总能量之半? [解] 设振幅为A，弹簧倔强系数为k，
121?A?kA?k??Ek22?2? （1）当位移是振幅之半时 ??75%
12E总kA2 （2）位移为x时，动能、势能各占总能量的一半
212112kx??kA 2222A 所以 x??2则有
6-14 一弹簧振子，弹簧的倔强系数k?25Nm，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，（1）求谐振动的振幅（2）位移是多大时，势能与动能相等?（3）位移是振幅之半时，势能是多大?
[解] （1） 设振幅为A，由机械能守恒定律，得
kA2E??0.2?0.6?0.8
2A??1.625??0.253m
126-8
（2）动能、势能相等时有
kx22?1E?0.4 2 因此 x??0.179m （3）位移为振幅一半时，势能为
11?A?11 Ep?kx2?k???E??0.8?0.2J
22?2?44
6-15 如图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k?24Nm，重物的质量为
2m? 6 kg，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F?10 N向左作用于物体（无摩擦），
使之由平衡位置向左运动了0.05 m，此时撤去力F．当重物运动到左方最大位置时开始计时，
求物体的振动方程．
[解] 以平衡位置为坐标原点，向右为正方向建立坐标系, 设振幅为A，由功能原理可得
Fs?kA22
?2Fs?因此 A???k??12??2?10?0.0524?12?0.204m
???km?12?2rads
又因物体运动到左边最大位移处开始计时,故初相为? 故得运动方程为 x?0.204cos?2t???m
6-16 两谐振动的振动方程分别为
x1?5?10?2cos?10t?3?4? x2?6?10?2cos?10t??4? （SI）
试求其合振动的振幅和初相位． [解] 由振动合成公式，得
2A?A12?A2?2A1A2cos(?2??1)
?0.052?0.062?2?0.05?0.06cos(A1sin?1?A2sin?2
A1cos?1?A2cos?2?4?3?)?7.81?10?2m 4tan??3???0.06sin44?11 ?3??0.05cos?0.06cos440.05sin6-9
结合矢量图得
??1.48rad
6-17 两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为 20cm，合振动与第一个谐振动的相位差为?6．若第一个谐振动的振幅为103cm，求第二个谐振动的振幅及第一、二两谐振动的相位差．
[解] 由题意可画出两简谐振动合成的矢量图，由图知
AA2A2?A12?A?2A1Acos2?6?10cm
?6A12易证 A12?A2?A2
故第一、二两振动的相位差为 ????2
6-18 质量为0.4kg的质点同时参与两个互相垂直的振动
x?8.0?10?2cos??t3??6?
y?6.0?10?2cos??t3??3? （S1）
求：（1）质点的轨迹方程；（2）质点在任一位置所受的作用力． [解] （1） 将两个振动方程展开，得到
x?t??t??coscos?sinsin
36368.0?10?2y?t??t??coscos?sinsin
33336.0?10?2x3y?t3xy??， cos?
30.080.0630.080.06两式平方相加，可得质点的轨道方程
整理得 sin?t??x??3y????3x?y??1 ? ??0.080.06??0.080.06?????（2） 由 x?8.0?10?2cos??t3??6? 可得 ax??0.08同理 ay??0.0622?29co?s?t3??6? co?s?t3??3?
?29因此 F?ma?maxi?ayj
?????2??????????m?0.08cos?t??i?0.06cos?t??j???0.438?xi?yj?N 9?6?6???3?36-10