【1】试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数??。
【2】证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得【3】 满足pVn?C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：【4】 试证明：理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常数，该过程一定是多方过程，
【5】假设理想气体的Cp和CV之比?是温度的函数，试求在准静态绝热过程中
T和V的关系，
【6】利用上题的结果证明：当?为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率 【7】试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。 【8】 温度为0?C的1kg水与温度为100?C的恒温热源接触后，水温达到100?C。试分别
【9】均匀杆的温度一端为T1另一端为T2计算到均匀温度?T1?T2?后的熵增。 【10】 物体的初温T1，高于热源的温度T2，有一热机在此物体与热源之间工作，直到将
【11】有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为Ti。今令一制冷机在这两个物体
【12】 1mol理想气体，在27?C的恒温下体积发生膨胀，其压强由20pn准静态地降到1pn，
【13】 在25?C下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为 V?(18.066?0.715?10?3p?0.046?10?6p2)cm3?mol?1 【14】使弹性体在准静态等温过程中长度由L0压缩为
L0， 212【15】 在0?C和1pn下，空气的密度为1.29kg?m?3,空气的定压比热容Cp?996J?kg-1?K?1,??1.41。今有27m3的空气，
【18】设一物质的物态方程具有以下形式p?f(V)T,试证明其内能与体积无关
?【19】 求证： (a)???0; (b)????0.
??V?U??p?H【20】试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程
【21】证明范氏气体的定容热容量只是温度T的函数，与比体积无关. 【22】试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率.
??S??S【23】已知顺磁物质遵从居里定律：M?CH(居里定律).若维物质的温度不变，T使磁场
【24】 温度维持为25?C，压强在0至1000pn之间，测得水的实验数据如下： 【25】 试证明范氏气体的摩尔定压热容量与摩尔定容热容量之差为
1
【26】试将理想弹性体等温可逆地由L0拉长至2L0时吸收的热量和内能变化. 【27】承上题. 试求该弹性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化率.
【28】 实验测得顺磁介质的磁化率?(T). 如果忽略其体积变化，试求特性【29】证明下列平衡判据（假设S>0）；（a）在S,V不变的情形下，稳定平衡【30】试由CV?0及???【31】 求证：（a）??p???p?证明及?0C?0p????0.
??V?T??V?S?????????S???V? （b）??;????????. ?T?n?p?n??V,n??T,V?T,p??t,n?【32】求证：???U?????????T???. ?n?T??T,V??V,n??pdT??.如果一相是气Tdp?【33】试证明在相变中物质摩尔内能的变化为?Um?L?1?【34】蒸气与液相达到平衡. 以
dVm表示在维持两相平衡的条件下，蒸气体积dTCp??V??V?22【35】由δTδS?δpδV?0导出平衡稳定性?δT??2?δTδp?δp?0. ??????T?T?p??p??T【36】 若将U看作独立变量T,V,n1,?,nk的函数，试证明： 【37】证明?i?T,p,n1,?,nk?是n1,?,nk的零次齐函数?ni?i???i???0. ??ni?【38】 理想溶液中各组元的化学势为?i?gi?T,p??RTlnxi.（a）假设溶质是非挥发性的. 试证明，当溶液与溶剂的蒸气达到平衡时， 【39】（a）试证明，在一定压强下溶剂沸点随溶质浓度的变化率为
RT??T??,其中L为纯溶剂的汽化热. ????x?pL?1?x?2【40】绝热容器中有隔板隔开，两边分别装有物质的量为n1和的理想气体，
1322【42】 物质的量为n0v1的气体A1和物质的量为n0v2的气体A2的混合物在温度T
【41】 试证明，在NH3分解为N2和H2的反应N2?H2?NH3?0中，平衡常量
和压强p下体积为V0，当发生化学变化v3A3?v4A4?v1A1?v2A2?0,
【43】 隔板将容器分为两半，各装有1mol的理想气体A和B. 它们的构成原 【44】 试根据热力学第三定律证明，在T?0时，一级相变两相平衡曲线的【45】 热力学第三定律要求遵从居里-外斯定律M?CH的顺磁性固体，T??【46】 试根据热力学第三定律讨论（a），（b）两图中哪一个图是正确的？图上画出的是顺磁性固体在H?0和H?Hi时的S?T曲线.
【47】中 试根据式（6.2.13）证明：在体积V内，在?到ε+dε的能量范围内，
132?V三维自由粒子的量子态数为D???d??3?2m?2?2d?.
h2
【48】 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为??cp.
【49】 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N?. 粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一 【50】同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？
1??l2??2222【51】 试根据公式p???al证明，对于相对论粒子??cp?c?nx?ny?nz?,
L?Vl【52】 试证明，对于遵从玻耳兹曼分布的定域系统，熵函数可以表示为
【54】气体以恒定速度υ0沿z方向作整体运动，求分子的平均平动能量.
【55】 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体. 试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率υ，
【56】根据麦克斯韦速度分布律导出两分子的相对速度υr?υ2?υ1和相对速率【57】 试证明，单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于υ与υ?dυ之间的【58】 分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率、方【59】 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为
??122px?py?pz2??ax2?bx,其中a,b是常量，求粒子的平均能量. ?2m【60】 试求双原子分子理想气体的振动熵.
【61】 对于双原子分子，常温下kT远大于转动的能级间距. 试求双原子分子理想气体的转动熵.
【62】试根据麦克斯韦速度分布律证明，速率和平均能量的涨落 【63】 体积为V的容器保持恒定的温度T，容器内的气体通过面积为A的小孔缓慢地漏入周围的真空中，求容器中气体压强降到初始
【64】 以??q1,?,qr;p1,?pr?表示玻耳兹曼系统中粒子的能量，试证明 【65】 已知极端相对论粒子的能量-动量关系为??c?p?p?p2x2y122z?.
假设由近独立、极端相对论粒子组成的气体满足经典极限条件，
【66】 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即S?klnΩ. 【67】试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为 【68】求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.
【69】试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因 【70】计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算 【71】 室温下某金属中自由电子气体的数密度n?6?1028m?3,某半导体中导电电子的数密度为n?1028m?3，试验证这两种电子气体是否为简并气体 【72】 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.
【73】 金属中的自由电子可以近似看作处在一个恒定势阱中的自由粒子.下图示意地表示0K时处在势阱中的电子.?表示势阱的深度,它等于将
【1】试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数??。
解：已知理想气体的物态方程为 pV?nRT,（1）由此易得
3
??1??V?nR1??,??V??T?ppVT1?p?nR1（2） ?????,（3）??p??T?VpVT?T??????????2??. （4）
V??p?T?V??p?p1??V??1??nRT?1【2】证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数??，根据下述积分求得：lnV=??αdT?κTdp? 如果??,?T?1T1，试求物态方程。 p解：以T,p为自变量，物质的物态方程为 V?V?T,p?, 其全微分为
??V?dV1??V?1??V???V?V 全式除以，有dV??dT?dp.?dT?????dp. ???VV??T?pV??p?T??T?p??p?TdV??dT??Tdp. 根据体胀系数?和等温压缩系数?T的定义，可将上式改写为V上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
?1111?,?T?，式（3）可表lnV???dT?dp?. Tpp??T选择图示的积分路线，从(T0,p0)积分到?T,p0?，再积分到（T,p），相应地体
lnV????dT??Tdp?（.3）若??Tp=ln?ln即,T0p011pVp0V0，或pV?CT.（5） 式（5）就是由所给??,?T?求??C（常量）
TpTT0积由V0最终变到V，有lnVV0得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。
【3】 满足pVn?C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量Cn为Cn?n??CV n?1解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
??Q???U???V?Cn?lim???p?????.（1）对于理想气体，内能U只是温度T的函?T?0?T??n??T?n??T?n?U???V?n数，?所以?C,C?C?pVnV????.（2）将多方过程的过程方程式pV?C与
??T?n??T?n理想气体的物态方程联立，消去压强p可得TVn?1?C1（常量）。（3） 将上式微分，有Vn?1dT?(n?1)Vn?2TdV?0,所以
pVn??V??V?C?C??CV,（5） （4）代入式（2），即得??.nV??T(n?1)n?1(n?1)T??T?n【4】 试证明：理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常数，该过程一定
4
是多方过程，多方指数n?Cn?CpCn?CV。假设气体的定压热容量和定容热容量是常
解：根据热力学第一定律，有dU??Q??W.（1）对于准静态过程有?W??pdV, 对理想气体有dU?CVdT,气体在过程中吸收的热量为?Q?CndT,因此式（1）可表为(Cn?CV)dT?pdV.（2）用理想气体的物态方程pV?vRT除上式，并注意
Cp?CV?vR,可得(Cn?CV)dTdV?(Cp?CV).（3）将理想气体的物态方程全式求微TVdTdpdVdT分，有?，有 ?.（4）式（3）与式（4）联立，消去
TpVTCn?CpdpdV(Cn?CV)?(Cn?Cp)?0.（5）令n?，可将式（5）表为
pVCn?CVdpdV。 ?n?0.（6）如果Cp,CV和Cn都是常量，将上式积分即得pVn?C（常量）
pV过程是多方过程。
【5】假设理想气体的Cp和CV之比?是温度的函数，试求在准静态绝热过程中
T和V的关系，该关系式中要用到一个函数F?T?，其表达式为lnF(T)??dT
???1?T解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足CVdT?pdV?0.（1） 用物态方程pV?nRT除上式，第一项用nRT除，第二项用pV除，可得
CVdTdV??0.（2）利用式nRTVCp?CV?nR,CpCV??,可将式（2）改定为
1dTdV??0.（3）??1TV将上式积分，如果?是温度的函数，定义lnF(T)??1dT,（4）可得??1T，（5）或F(T)V?C（常量）。（6）式（6）给出当?是温lnF(T)?lnV?C1（常量）
度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。
【6】利用上题的结果证明：当?为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为??1?T2V.解：在?是温度的函数的情形下，即仍有Q1?RT1ln2,（1） T1V1VVVQ2?RT2ln3,（2）W?Q1?Q2?RT1ln2?RT2ln3.（3）有F(T1)V2?F(T2)V3,（4）
V4V1V4F(T2)V4?F(T1)V1,（5）从这两个方程消去F(T1)和F(T2)，得
V2V3V?,（6）故W?R(T1?T2)ln2,（7）所以在?是温度的函数的情形下，理想V1V4V1TW气体卡诺循环的效率仍为???1?2.（8）
Q1T1【7】试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在p?V图中两条绝热线交于C点，如图所示。设想一等温线与
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