试卷类型：A
2011年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数 学（理科）
2011.４
本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式V?1Sh， 其中S是锥体的底面积， h是锥体的高． 3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的． 1．复数z?a?bi?a,b?R?的虚部记作Im?z??b，则Im?A．
?1??? ?2?i?D．?12 B． 35C．?1 31 5B? 2．已知全集U?A?B??1,2,3,4,5,6,7?，A?eUB??2,4,6?，则集合
A．?2,4,6? B．?1,3,5? C．?1,3,5,7? D．?1,2,3,4,5,6,7? 3．设随机变量?服从正态分布N?3,4?，若P???2a?3??P???a?2?，则a的值为
??75 B． C．5 D．3 331324．已知函数f?x??x?2ax?x?a?0?，则f?2?的最小值为
a21A．1232 B．16 C．8?8a? D．12?8a?
aaA．
5．已知f1?x??sinx?cosx，fn?1?x?是fn?x?的导函数，即f2?x??f1??x?，f3?x??f2??x?，?，
fn?1?x??fn??x?，n?N*，则f2011?x??
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A．?sinx?cosx B．sinx?cosx C．?sinx?cosx D．sinx?cosx 6．一条光线沿直线2x?y?2?0入射到直线x?y?5?0后反射，则反射光线所在的直线方程为 A．2x?y?6?0 B．x?2y?7?0 C．x?y?3?0 D．x?2y?9?0 7．三个共面向量a、b、c两两所成的角相等，且a?1，b?2，c?3，则a+b+c 等于 A．3 B．6 C．3或6 D．3或6 8．正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在边AB、BC上，且AE?1，BF?1，将此正方形沿DE、2DF折起，使点A、C重合于点P，则三棱锥P?DEF的体积是
A．
15232 B． C． D． 3693
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．已知函数f?x??sin??x?值为
????????0?，若函数f?x?图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小6??，则?的值为 ． 33210．已知函数f?x?是定义在R上的偶函数，当x?0时，f?x??x?x，
则当x?0时，f?x?的解析式为 ． 11．若C1C232C3n???3n?3n?n2?v(cm/s) 4 2 2 3 4 Cn1?n?3n1??85，则 n的值为 ．
12．如图1为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数v?v?t?的图象，O 1 t(s) 则该质点运动的总路程s? 厘米． 图1
13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1?12，2?6，3?4三种，其
中3?4是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称3?4为12的最佳分解．当
p?q?p?q且p,q?N*?是正整数n的最佳分解时，我们规定函数f?n??关于函数f?n?有下列叙述：①f?7??3p，例如f?12??.
4q1349，②f?24??，③f?28??，④f?144??.其中正78716确的序号为 （填入所有正确的序号）．
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（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）在梯形ABCD中，AD?BC，AD?2，BC?5，点E、F分别在AB、
CD上，且EF?AD，若
AE3?，则EF的长为 ． EB415．（坐标系与参数方程选做题）设点A的极坐标为?2,线l的极坐标方程为 ． ．．．
????6??，直线l过点A且与极轴所成的角为
?，则直3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
如图2，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔
船甲同时从B处出发沿北偏东?的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin?的值．
西 ? 东 ?A 60
B
南
17．（本小题满分12分）
某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人． 视觉 听觉 偏低 听觉 记忆 能力 偏低 中等 偏高 超常 0 1 2 0 视觉记忆能力 中等 7 8 a 2 偏高 5 3 0 1 超常 1 ?北 C
b 1 1 由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为
2． 5（1）试确定a、b的值；
（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概
率； （3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为?，求
随机变量?的数学期望E?．
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18．（本小题满分14分）
E?ABC组合而成，一个几何体是由圆柱ADD1A点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）1和三棱锥 AB?AC，AB?AC，视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA?平面ABC，AE?2．
（1）求证：AC?BD；
（2）求二面角A?BD?C的平面角的大小． E E C A A1 A1A OO
B D D1 D D1
正（主）视图
19．（本小题满分14分）
已知数列?an?的前n项和Sn?图3
E
A
侧（左）视图
?n?1?an，且a21?1．
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）令bn?lnan，是否存在k（k?2,k?N?），使得bk、bk?1、bk?2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分）
x2y2222已知双曲线C：2?2?1?a?b?0?和圆O：x?y?b（其中原点O为圆心），过双曲线C上
ab一点P?x0,y0?引圆O的两条切线，切点分别为A、B．
（1）若双曲线C上存在点P，使得?APB?90，求双曲线离心率e的取值范围； （2）求直线AB的方程；
（3）求三角形OAB面积的最大值．
21．（本小题满分14分）
已知函数f?x??ax?xlnx的图象在点x?e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a的值； （2）若k?Z，且k??f?x?对任意x?1恒成立，求k的最大值； x?1（3）当n?m?4时，证明mn?nm???nmm?．
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数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，
如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 A 6 B 7 C 8 B 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满
分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．
9．
323 10．f?x???x3?x2 11．4 12．11 13．①③ 14． 2715．?sin?4????????????1或?cos?????1或?sin???3?3???6????1或3?cos???sin??2?0 ?三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力等．）
?解：（1）依题意，?BAC?120，AB?12，AC?10?2?20，?BCA??．?????????2分
在△ABC中，由余弦定理，得
北 C
BC2?AB2?AC2?2AB?AC?cos?BAC ????????4分
?12?20?2?12?20?cos120?784．
解得BC?28． ?????????????????????6分
22?BC?14海里/小时． 所以渔船甲的速度为2答：渔船甲的速度为14海里/小时．?????????????7分
?（2）方法1：在△ABC中，因为AB?12，?BAC?120，BC?28，
西 ? B
60 ?A 东
南
?BCA??，
由正弦定理，得
ABBC?．??????????????????????????9分 ?sin?sin120数学（理科）答案A 第 5 页 共 16 页