即
ann??n?2?．???????????????????????????????4分 an?1n?1anan?1aann?132????3?2?a1???????1?n．?????????5分 an?1an?2a2a1n?1n?221所以an?因为a1?1，符合an的表达式．????????????????????????????6分
*所以数列?an?的通项公式为an?nn?N．?????????????????????7分 *（2）假设存在kk?2,m,k?N，使得bk、bk?1、bk?2成等比数列，
???? 则bkbk?2?bk2?1．??????????????????????????????????8分
因为bn?lnan?lnn（n≥2）， 所以bkbk?2?ln?k2?2k???lnk?ln?k?2??? ????????????11分 ?lnk?ln(k?2)?????22??????22?ln?k?1?2?2???lnk?1????????bk2?1．?????????????13分
2????这与bkbk?2?bk2?1矛盾．
故不存在k（k?2,k?N），使得bk、bk?1、bk?2成等比数列．?????????????14分
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等．）
?2cb解：（1）因为a?b?0，所以?1，所以e??aa?a2?b2?b??1????2．???????1分 a?a?2由?APB?90及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以OP?2b．
ca2?b2b26?b??1????因为OP?2b?a，所以?，所以e??．?????3分
aaaa22??故双曲线离心率e的取值范围为?2?6?,2?．??????????????????????4分
??2?（2）方法1：因为PA2?OP2?OA2?x02?y02?b2，
222所以以点P为圆心，PA为半径的圆P的方程为?x?x0???y?y0??x0?y0?b．???5分
22数学（理科）答案A 第 11 页 共 16 页
因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB，?????????????????6分
222??x?y?b,所以联立方程组???????????????????7分 22222???x?x0???y?y0??x0?y0?b.消去x，y2，即得直线AB的方程为x0x?y0y?b2．??????????????????8分
2方法2：设A?x1,y1?B?x2,y2?，已知点P?x0,y0?， 则kPA?y0?y1y，kOA?1?其中x1?x0,x1?0?．
x0?x1x1y0?y1y1???1．????????????????5分
x0?x1x1因为PA?OA，所以kPAkOA??1，即整理得x0x1?y0y1?x12?y12．
因为x12?y12?b2，所以x0x1?y0y1?b2．???????????????????????6分 因为OA?OB，PA?PB，根据平面几何知识可知，AB?OP． 因为kOP?y0x，所以kAB??0．???????????????????????????7分 x0y0x0?x?x1?． y0所以直线AB方程为y?y1??即x0x?y0y?x0x1?y0y1．
所以直线AB的方程为x0x?y0y?b2．????????????????????????8分 方法3：设A?x1,y1?,B?x2,y2?，已知点P?x0,y0?， 则kPA?y0?y1y，kOA?1?其中x1?x0,x1?0?．
x0?x1x1y0?y1y1???1．????????????????5分
x0?x1x1y A 因为PA?OA，所以kPAkOA??1，即整理得x0x1?y0y1?x12?y12．
因为x?y?b，所以x0x1?y0y1?b．??6分 这说明点A在直线x0x?y0y?b2上． ????7分 同理点B也在直线x0x?y0y?b2上．
所以x0x?y0y?b2就是直线AB的方程． ??8分 （3）由（2）知，直线AB的方程为x0x?y0y?b2，
数学（理科）答案A 第 12 页 共 16 页
212122P O B x
所以点O到直线AB的距离为d?b2x0?y022．
2bx02?y02?b2b4因为AB?2OA?d?2b?2， ?22x0?y02x0?y0222b1所以三角形OAB的面积S??AB?d?23x02?y02?b2．??????????????10分 22x0?y0以下给出求三角形OAB的面积S的三种方法：
x2y2方法1：因为点P?x0,y0?在双曲线2?2?1上，
ab2x02y02b2x0?a2b22x02?a2?． 所以2?2?1，即y0??2aab?b2?2222设t?x0?y0?b??1?2?x0?2b?a?b，
?a?222b3t所以S?2．?????????????????????????????????11分
t?b2因为S???b3?t?b??t?b??t2?b22?，
所以当0?t?b时，S??0，当t?b时，S??0．
b3t所以S?2在?0,b?上单调递增，在?b,???上单调递减．??????????????12分 2t?b当a?b?b，即b?a?222b时，S最大值b3?b12?2?b，?????????????13分 2b?b2b3?a2?b2b3a2?b2?． 22a222a?b?b当a?b?b，即a?222b时，S最大值???综上可知，当b?a?2b时，S最大值2212b3a2?b2?b；当a?2b时，S最大值?．???14分 2a2b3tb3?方法2：设t?x0?y0?b，则S?2．????????????????11分
b2t?b2t?t22x02y02b2x0?a2b2x2y22x02?a2?． 因为点P?x0,y0?在双曲线2?2?1上，即2?2?1，即y0??2abaab数学（理科）答案A 第 13 页 共 16 页
?b2?2222所以t?x0?y0?b??1?2?x0?2b?a?b．
?a?222b2b2?t?b??t?b?令g?t??t?，则g??t??1?2?． ttt2所以当0?t?b时，g??t??0，当t?b时，g??t??0．
b2所以g?t??t?在?0,b?上单调递减，在?b,???上单调递增．?????????????12分
t当a?b?b，即b?a?222b时，S最大值b312??b，??????????????13分 2b2b?b当a?b?b，即a?222b时，S最大值?22b3a?b?b2a2?b2b3a2?b2． ?2a综上可知，当b?a?2b时，S最大值12b3a2?b2?b；当a?2b时，S最大值?．???14分 22a2b3t?b2?1?122?b3?b2???．?????????????11分 方法3：设t?x0?y0，则S?t?t?t2x02y02b2x0?a2b2x2y22x02?a2?． 因为点P?x0,y0?在双曲线2?2?1上，即2?2?1，即y0??2abaab?b2?22所以t?x0?y0??1?2?x0?b?a2．
?a?221?1?令g?u???bu?u??b?u?2??2，
2b?4b?2222所以g?u?在???,??1??1?上单调递增，在,????2?上单调递减．????????????12分 2b2?2b??1?t?1??， a2?因为t?a，所以u???0,当
111121?1?3?S?b??b． b?a?2b，即时，，此时gu?g??????max?2?最大值222?2ba2b2?2b?4b ????????????13分
2211b3a2?b2?1?a?b当2?2，即a?2b时，?，此时S最大值?． g?u???g?2??24??max2baaa?a?数学（理科）答案A 第 14 页 共 16 页
综上可知，当b?a?
2b时，S最大值12b3a2?b2?b；当a?2b时，S最大值?．???14分 22a21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的值域、导数、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及创新意识．） （1）解：因为f?x??ax?xlnx，所以f??x??a?lnx?1．????????????????1分
因为函数f?x??ax?xlnx的图像在点x?e处的切线斜率为3， 所以f??e??3，即a?lne?1?3．
所以a?1．?????????????????????????????????????2分 （2）解：由（1）知，f?x??x?xlnx，
所以k?f?x?x?xlnx对任意x?1恒成立，即k?对任意x?1恒成立．?????????3分
x?1x?1x?xlnx，
x?1令g?x??则g??x??x?lnx?2?x?1?2，???????????????????????????????4分
令h?x??x?lnx?2?x?1?， 则h??x??1?1x?1??0， xx所以函数h?x?在?1,???上单调递增．?????????????????????????5分 因为h?3??1?ln3?0,h?4??2?2ln2?0，
所以方程h?x??0在?1,???上存在唯一实根x0，且满足x0??3,4?．
当1?x?x0时，h(x)?0，即g?(x)?0，当x?x0时，h(x)?0，即g?(x)?0，??????6分 所以函数g?x??所以??g?x???x?xlnx在?1,x0?上单调递减，在?x0,???上单调递增．
x?1min?g?x0??x0?1?lnx0?x0?1?x0?2????????????7分 ??x0??3,4?．
x0?1x0?1所以k???g?x???min?x0??3,4?．
故整数k的最大值是3．???????????????????????????????8分
数学（理科）答案A 第 15 页 共 16 页
（3）证明1：由（2）知，g?x??x?xlnx是?4,???上的增函数，??????????????9分
x?1n?nlnnm?mlnm?所以当n?m?4时，．????????????????????10分
n?1m?1即n?m?1??1?lnn??m?n?1??1?lnm?．
整理，得mnlnn?mlnm?mnlnm?nlnn??n?m?．?????????????????11分 因为n?m， 所以mnlnn?mlnm?mnlnm?nlnn．?????????????????12分 即lnnmn?lnmm?lnmmn?lnnn．
mnmmnn即lnnm?lnmn．????????????????????????????13分
????所以mn?nm???nmm?．??????????????????????????????14分
n证明2：构造函数f?x??mxlnx?mlnm?mxlnm?xlnx，???????????????9分 则f??x???m?1?lnx?m?1?mlnm．????????????????????????10分 因为x?m?4，所以f??x???m?1?lnm?m?1?mlnm?m?1?lnm?0．
所以函数f?x?在?m,???上单调递增．????????????????????????11分 因为n?m， 所以f?n??f?m?．
所以mnlnn?mlnm?mnlnm?nlnn?mlnm?mlnm?mlnm?mlnm?0．?????12分 即mnlnn?mlnm?mnlnm?nlnn． 即lnnmn22?lnmm?lnmmn?lnnn．
mnmmnn即lnnm?lnmn．????????????????????????????13分
????所以mn
?nm???nmm?．??????????????????????????????14分
n数学（理科）答案A 第 16 页 共 16 页