椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P,PF?(1)求椭圆C1的方程；
53.
?????????????(2) 若过点A??1,0?的直线与椭圆C1相交于M、N两点，求使FM?FN?FR成立的
动点R的轨迹方程；
(3) 若点R满足条件（2），点T是圆?x?1??y2?1上的动点，求RT的最大值. (1)解法1：抛物线C2:y2?4x的焦点F的坐标为?1,0?，准线为x??1， 设点P的坐标为?x0,y0?，依据抛物线的定义，由PF?532，得1?x0?53， 解得x0?23.
????? 1分
∵ 点P在抛物线C2上，且在第一象限，
23∴ y0?4x0?4?2，解得y0?263.
∴点P的坐标为???226,33??. ????? 2分 ???22 ∵点P在椭圆C1:xa22?yb?1上， ∴
49a2?83b2?1. ????? 3分
2222又c?1，且a?b?c?b?1， ????? 4分
解得a?4,b?3.
x222∴椭圆C1的方程为
4?y23?1. ????? 5分
2解法2: 抛物线C2:y?4x的焦点F的坐标为?1,0?，
设点P的坐标为?x0,y0?,x0?0,y0?0. ∵PF?53,
2 ∴?x0?1??y0?2259. ① ????? 1分
2 ∵点P在抛物线C2:y?4x上,
2 ∴y0?4x0. ②
解①②得x0?23,y0?263.
?226∴点P的坐标为?,?33??. ????? 2分 ???22 ∵点P在椭圆C1:xa22?yb?1上， ∴
49a2?83b2?1. ????? 3分
又c?1，且a2?b2?c2?b2?1， ????? 4分 解得a2?4,b2?3.
x2∴椭圆C1的方程为(2)解法1：设点M4?y23?1. ????? 5分
?x1,y1?、N?x2,y2?、R?x,y?，
????????????? 则FM??x1?1,y1?,FN??x2?1,y2?,FR??x?1,y?. ????????? ∴FM?FN??x1?x2?2,y1?y2?.
?????????????∵ FM?FN?FR,
∴x1?x2?2?x?1,y1?y2?y. ① ????? 6分
x142∵M、N在椭圆C1上， ∴
?y132?1,x242?y232?1.
上面两式相减得
?x1?x2??x1?x2?4??y1?y2??y1?y2?3?0.②
把①式代入②式得
?x?1??x1?x2?4?y?y1?y2?3?0.
当x1?x2时，得
y1?y2x1?x2??3?x?1?4y. ③ ????? 7分
设FR的中点为Q，则Q的坐标为?∵M、N、Q、A四点共线，
?x?1y,22???. ?
y∴kMN?kAQ, 即
y1?y2x1?x2y?2x?12??1yx?3. ④ ????? 8分
把④式代入③式，得
x?3??3?x?1?4y，
化简得4y2?3?x2?4x?3??0. ????? 9分 当x1?x2时，可得点R的坐标为??3,0?，
经检验，点R??3,0?在曲线4y2?3?x2?4x?3??0上.
∴动点R的轨迹方程为4y2?3?x2?4x?3??0. ????? 10分
解法2：当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y?k?x?1?，
?y?k?x?1?,?2 由?2消去y，得3?4k2xy??1,?3?4??x2?8kx?4k22?12?0.
设点M?x1,y1?、N?x2,y2?、R?x,y?，
8k22 则x1?x2??3?4k,
y1?y2?k?x1?1??k?x2?1??k?x1?x2?2??????????????? ∵FM??x1?1,y1?,FN??x2?1,y2?,FR??x?1,y?. ????????? ∴FM?FN??x1?x2?2,y1?y2?.
6k3?4k2.?6分
?????????????∵ FM?FN?FR,
∴x1?x2?2?x?1,y1?y2?y.
8k22∴x?1?x1?x2??6k3?4k23?4k, ①
y?. ② ????? 7分
①?②得k??3?x?1?4y， ③ ????? 8分
把③代入②化简得4y2?3?x2?4x?3??0. (*) ????? 9分 当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为x??1, 依题意, 可得点R的坐标为??3,0?，
经检验，点R??3,0?在曲线4y2?3?x2?4x?3??0上.
∴动点R的轨迹方程为4y2?3?x2?4x?3??0. ????? 10分
(3)解: 由(2)知点R?x,y?的坐标满足4y2?3?x?4x?3??0,
2即4y2??3?x2?4x?3?,
由y2?0,得?3?x2?4x?3??0,解得?3?x??1. ????? 11分 ∵圆?x?1??y2?1的圆心为F?1,0?,半径r?1, ∴RF?2?x?1?122?y2??x?1?2?3?x42?4x?3 ? ??x?10??105. ????? 12分
?4, ????? 13分
2 ∴当x??3时,RF 此时,RT
maxmax?4?1?5. ????? 14分
4、（惠州市2013届高三上学期期末）如图，椭圆M:xa22?yb22?1(a?b?0)的离心率为32，
直线x??a和y??b所围成的矩形ABCD的面积为8. （1）求椭圆M的标准方程；
（2）设直线l:y?x?m(m?R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T,求的最大值及取得最大值时m的值．
|PQ||ST|D O A y C x B
1)e?ca?32?a?ba222?34??①????1分
矩形ABCD面积为8，即2a?2b?8??②????2分 由①②解得：a?2,b?1， ????3分 ∴椭圆M的标准方程是
x22?y?1. ?????????4分
4?x2?4y2?4,22(2)??5x?8mx?4m?4?0，
?y?x?m,设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2??m,x1x2?584m?452， ???????7分
由??64m2?20(4m2?4)?0得?5?m?5. ????????8分
4m?442?8?2??m??4?55?5?22|PQ|?5?m2. ??????10分
?????11分
2(3?m)，
当l过A点时，m?1，当l过C点时，m??1.
①当?5?m??1时，有S(?m?1,?1),T(2,2?m),|ST|?|PQ||ST|?455?m22(3?m)?45?4t2?6t?1，
|PQ||ST|其中t?m?3，由此知当?t134，即t?43,m??5353?(?5,?1)时，|PQ||ST|取得最大值255.
②由对称性，可知若1?m?5，则当m?③当?1?m?1时，|ST|?22，|PQ||ST||PQ||ST|25时，
2取得最大值255.
?5?m，
由此知，当m?0时，综上可知，当m??53取得最大值|PQ||ST|255.
25 ??????13分
5和0时，取得最大值.??????14分
5、（江门市2013届高三上学期期末）已知椭圆C的焦点为F1(?1 , 0)、F2(1 , 0)，点
P(?1 , 22)在椭圆上．
⑴求椭圆C的方程；
⑵若抛物线y?2px（p?0）与椭圆C相交于点M、N，当?OMN（O是坐标
原点）的面积取得最大值时，求p的值． 解：⑴依题意，设椭圆C的方程为
xa222?yb22?1??1分，
2a?|PF1|?|PF2|??2分，?22，所以a?2??3分，