线性代数部分
基本运算 ①A?B?B?A
②
?A?B??C?A??B?C?
③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA
④c?dA???cd?A
⑤cA?0?c?0或A?0。
?AT?T?A
?A?B?T?AT?BT
?cA?T?c?AT?。
?AB?T?BTAT
??n?n?1??21??C2n?n?1?n?2
D?a21A21?a22A22???a2nA2n
转置值不变
AT?A
逆值变
A?1?1A
cA?cnA
?,?1??2,???,?1,???,?2,?
A???1,?2,?3?，3阶矩阵
B???1,?2,?3?
A?B?A?B
A?B???1??1,?2??2,?3??3?
A?B??1??1,?2??2,?3??3
A?0B?A0?B?AB
E?i,j?c???1
有关乘法的基本运算
1
Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj
线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B，
A?B1?B2??AB1?AB2
?cA?B?c?AB??A?cB? 结合律
?AB?C?A?BC?
?AB?T?BTAT
AB?AB
AkAl?Ak?l
?Ak?l?Akl
?AB?k?AkBk不一定成立！
AE?A，EA?A
A?kE??kA，?kE?A?kA
AB?E?BA?E
与数的乘法的不同之处
?AB?k?AkBk不一定成立！
无交换律 因式分解障碍是交换性
一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如
A2?2A?3E??A?3E??A?E?
无消去律（矩阵和矩阵相乘）
当AB?0时??A?0或B?0
由A?0和AB?0??B?0
由A?0时AB?AC??B?C（无左消去律） 特别的 设A可逆，则A有消去律。
左消去律：AB?AC?B?C。
右消去律：BA?CA?B?C。
如果A列满秩，则A有左消去律，即
①AB?0?B?0 ②AB?AC?B?C
可逆矩阵的性质 i）当
A可逆时，
AT也可逆，且?AT??1??A?1?T。
2
Ak也可逆，且Ak???1?A?1??。
k?1 数c?0，cA也可逆，?cA??1?1A。 cii）
A，B是两个n阶可逆矩阵?AB也可逆，且?AB??1?B?1A?1。
推论：设
A，B是两个n阶矩阵，则AB?E?BA?E
命题：初等矩阵都可逆，且
?E?i,j???1?E?i,j?
?E?i?c????1?E???i??1?c?????
???
?E?i,j?c????1?E?i,j??c??
命题：准对角矩阵
A11000A?111000A?0A22000000?0可逆?每个
A0A?122ii都可逆，记A?1?00?0000Akk000A?1kk
伴随矩阵的基本性质：
AA*?A*A?AE
当
A可逆时， AA*A?E 得A?1?A*A， （求逆矩阵的伴随矩阵法） 且得：?A*??1?A??A?1?A?? ????A?1?*?A?1?A?1??1?A?A?? ? 伴随矩阵的其他性质
①A*?An?1, A*?AA?1
②?AT?*??A*?T,
③?cA?*?cn?1A*, ④
?AB?*?B*A*,
⑤
?Ak?*??A*?k，
3
⑥?A*?*?An?2A。 n?2时， ?A*?*?A A*???a?b???cd??
?? 关于矩阵右上肩记号：T，k，?1，* i) 任何两个的次序可交换， 如?AT?*??A*?T，
?A*??1??A?1?*等 ii)
?AB?T?BTAT, ?AB??1?B?1A?1，
?AB?*?B*A*
但?AB?k?BkAk不一定成立！
线性表示
0??1,?2,?,?s
?i??1,?2,?,?s
???1,?2,?,?s?x1?1?x2?2???xs?s??有解
???1,?2,?,?s?x??有解?x??x1,?,xs?T?
Ax??有解，即?可用A的列向量组表示
AB?C??r1,r2,?,rs?，A???1,?2,?,?n?，
则r1,r2,?,rs??1,?2,?,?n。
?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s，
则存在矩阵C，使得
??1,?2,?,?t????1,?2,?,?s?C
线性表示关系有传递性 当?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s?r1,r2,?,rp， 则?1,?2,?,?t?r1,r2,?,rp。
等价关系：如果?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t互相可表示 ?1,?2,?,?s???1,?2,?,?t 记作?1,?2,?,?s??1,?2,?,?t。
线性相关 s?1，单个向量?，x??0 ?相关???0
4
s?2，?1,?2相关?对应分量成比例 ?1,?2相关?a1:b1?a2:b2???an:bn
①向量个数s=维数n，则?1,?,?n线性相（无）关??1??n????0
A???1,?2,?,?n?，Ax?0有非零解?A?0
如果s?n，则?1,?2,?,?s一定相关
Ax?0的方程个数n?未知数个数s
②如果?1,?2,?,?s无关，则它的每一个部分组都无关
③如果?1,?2,?,?s无关，而?1,?2,?,?s,?相关，则???1,?2,?,?s
证明：设c1,?,cs,c不全为0，使得c1?1???cs?s?c??0
c1?1???cs?s?0 则其中
c?0，否则
c1,?,cs不全为0，，与条件
?1,?,?s无关矛盾。于是
???cc1?1???s?s。 cc ④当???1,?,?s时，表示方式唯一??1??s无关
（表示方式不唯一??1??s相关）
⑤若?1,?,?t??1,?,?s，并且t?s，则?1,?,?t一定线性相关。
证明：记
A???1,?,?s?，B???1,?,?t?，
?AC。
则存在s?t矩阵C，使得 B Cx?0有s个方程，t个未知数，s?t，有非零解?，C??0。
则B??AC??0，即?也是Bx?0的非零解，从而?1,?,?t线性相关。
各性质的逆否形式
①如果?1,?2,?,?s无关，则s?n。
5