??a1????b1?? 设???a?2?,???b2?，则 ??,???aT1b?ab???ab ??? ??????122nn????an????b?n?? 2．性质 ①对称性：
??,?????,??
②双线性性质：??1??2,?????1,?????2,?? ??,?1??2????,?1????,?2?
?c?,???c??,?????,c??
?n ③正交性：
??,???0，且??,???0??0 ??,????a2i
i?1 3．长度与正交 ??n 向量?的长度
??,????a2i
i?1 ??0???0
c??c?
单位向量：长度为1的向量
???2?? ?1??0???0???2????，?1?，?0， ?0????0?????2????2?? 若??0，则
??是单位向量，称为?的单位化。
?1?????1 两个向量?,?如果内积为0：
??,???0，称它们是正交的。
如果n维向量组?1,?2,?,?s两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。 例1．如果向量组?1,?2,?,?s两两正交，并且每个向量都不为零向量，则它们线性无关。 证：记
A?? ?1,?2,?,?s?，则
?2??1000?? ATA???0?2200??00?0? ???000?2s?? 21
则r?ATA??s,?r?A??s即r??1,?,?s??s。
例2．若
A是一个实的矩阵，则r?ATA??r?A?。
二．正交矩阵 一个实n阶矩阵A如果满足AAT?E，就称为正交矩阵。AT?A?1
定理
A是正交矩阵?A的行向量组是单位正交向量组。
?A的列向量组是单位正交向量组。 例3．正交矩阵A保持内积，即
?A?,A?????,??
A???
证：
?A?,A????TATA???T????,??
? 例4．（04）A是3阶正交矩阵，并且a1，求Ax??1??0?11???的解。
?0?? 三．施密特正交化方法
这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。
?2????1???c?
设?1,?2,?3线性无关 ①正交化：令?1??1
?2?????1,?2?2??? 1,?1?1 （设?2??2?k?1，??2,?1????2,?1??k??1,?1?
当k????2,?1??时，?2,?1正交。
） 1,?1? ???3??3??1,?3?????2,?3?1??2
1,?1???2,?2? ②单位化：令???1?31?，?2??21?，?3?2?
3 22
则?1,?2,?3是与?1,?2,?3等价的单位正交向量组。 四．实对称矩阵的对角化
设
A是一个实的对称矩阵，则
①A的每个特征值都是实数。
②对每个特征值?，重数?n?r??E?A?。即A可以对角化。
③属于不同特征值的特征向量互相正交。 于是：存在正交矩阵Q，使得Q?1AQ是对角矩阵。
对每个特征值?，找??E?A?x?0的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。 设
A是6阶的有3个特征值?1（二重），?2（三重），?1（一重）
找?1的2个单位正交特征向量?1,?2。 找?2的3个单位正交特征向量?3,?4,?5。 找?3的一个单位特征向量?6。 Q???1,?2,?3,?4,?5,?6?
例5．（04）
A是3阶实对称矩阵，r?A??2，6是它的一个二重特征值，
?1??2 ??1??，???1???和?1???2??都是属于6的特征向量。
??0????1????3?? （1）求
A的另一个特征值。
（2）求A。 解：（1）另一个特征值为0。
? （2）设?x1??x?2?是属于0的特征向量，则
??x3???x1?x2 ??0?2x1?x2?x3?0
??x1?2x2?3x3?0 此方程组n?3，r?A??2，n?r?A??1，基础解系包含一个解，任何两个解都相关。 于是，每个非零解都是属于0的特征向量。
?110??101??1 ??211?????01?1?? ??????1??是一个解。 ??1?23????000?????1?? 23
?121??6120?????60? A?11?1???6?01?1??060??????110660??100422????? ?2111266???01024?2?
?1?1?1000??0012?24?????2??42??4?2? A??2?2?24???
附录二 向量空间
1．n维向量空间及其子空间
记为R由全部n维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为n维向量空间。 设V是R的一个子集，如果它满足 （1）当?1,?2都属于V时，?1nn??2也属于V。
（2）对V的每个元素?和任何实数c，c?也在V中。 则称V为R的一个子空间。 例如n元齐次方程组 但是非齐次方程组
nnAX?0的全部解构成Rn的一个子空间，称为AX?0的解空间。
AX??的全部解则不构成Rn的子空间。
对于R中的一组元素?1,?2,?,?s，记它们的全部线性组合的集合为 L?1,?2,?,?s
2．基，维数，坐标
设V是R的一个非0子空间（即它含有非0元素），称V的秩为其维数，记作dimV。 称V的排了次序的极大无关组为V的基。 例如AX 又如dimn????c1?1?c2?2???cs?sci任意?，它也是Rn的一个子空间。
?0的解空间的维数为n?r?A?，它的每个有序的基础解系构成基。
?L??1,?2,?,?s???r??1,?2,?,?s?，?1,?2,?,?s的每个有序的极大无关组构成基。
设?1,?2,?,?k是V的一个基，则V的每个元素?都可以用?1,?2,?,?k唯一线性表示： ??c1?1?c2?2???ck?k
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称其中的系数
?c1,c2,?,ck?为?关于基?1,?2,?,?k的坐标，它是一个k维向量。
坐标有线性性质：
（1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和： 如果向量?和?关于基?1,?2,?,?k的坐标分别为的坐标为
?c1,c2,?,ck?和?d1,d2,?,dk?，则???关于基?1,?2,?,?k?c1?d1,c2?d2,?,ck?dk???c1,c2,?,ck???d1,d2,?,dk?
?关于基
（2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数： 如果向量
?1,?2,?,?k的坐标为
?c1,c2,?,ck?，则
c?关于基
?1,?2,?,?k的坐标为
?cc1,cc2,?,cck??c?c1,c2,?,ck?。
坐标的意义：设V中的一个向量组?1,?2,?,?t关于基?1,?2,?,?k的坐标依次为?1,?2,?,?t，则?1,?2,?,?t和
?1,?2,?,?t有相同的线性关系。
于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。
3．过渡矩阵，坐标变换公式
设?1,?2,?,?k和?1,?2,?,?k都是V的一个基，并设?1在?1,?2,?,?k中的坐标为
?c1i,c2i,?,cki?，构造矩阵
?c11??c21 C?????c?k1?c1k??c22?c2k?，
?????ck2?ckk??c12 称C为?1,?2,?,?k到?1,?2,?,?k的过渡矩阵。
??1,?2,?,?k????1,?2,?,?k?C。
?1,?2,?,?kT 如果V中向量?在其?1,?2,?,?k和 x ? ?中的坐标分别为
??x1,x2,?,xk?T和
y??y1,y2,?,yk?，则
???1,?2,?,?k?x
???1,?2,?,?k?y???1,?2,?,?k?Cy
于是关系式： x?Cy
称为坐标变换公式。
4．规范正交基
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如果V的一基?1,?2,?,?k是单位正交向量组，则称为规范正交基。 两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。 设?的坐标为 则
?c1,c2,?,ck?，?的坐标为?d1,d2,?,dk?，
??,???c1d1?c2d2???ckdk
两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。 做题思路 先化简再计算
例5．（03）设n维列向量???a,0,?,0,a?T，a1?0。规定A?E???T，B?E???T。已知AB?E，求a。
a注意化简技巧（中间过程也很重要）
?10??01 例13．（00）己知A*??10??0?3?00100??0??1?1，求矩阵B，使得ABA?BA?3E. 0??8??证明一个矩阵可逆切入点 行列式=0 ，证明Ax=E ， 证明两式相等切入点 AB=某个等式=BA
AB?E?BA?E）
例20．设n阶矩阵A和B满足等式AB?aA?bB，ab?0, 证明：AB?BA
（从对称性想到AB可逆BA也可逆的着手点
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