②如果?1,?2,?,?s有相关的部分组，则它自己一定也相关。
③如果?1??s无关，而????1,?,?s，则?1,?,?s?无关。
⑤如果?1??t??1??s，?1??t无关，则t?s。
推论：若两个无关向量组?1??s与?1??t等价，则s?t。
极大无关组
一个线性无关部分组
?I?，若#?I?等于秩?1,?2,?4,?6??I?，?I?就一定是极大无关组 ①?1,?2,?,?s无关?? ??1,?2,?,?s??s
②???1,?2,?,?s? ? ??1,?2,?,?s,???? ??1,?,?s?
另一种说法： 取?1,?2,?,?s的一个极大无关组?I?
?I?也是?1,?2,?,?s,?的极大无关组??I?,?相关。
证明：???1,?,?s????I???I?,?相关。
? ????1,?,?s?,???1??s1,?,?s,?????? ?? ??1,?,?s??1,??/? 1,?,?s ③?可用?1,?,?s唯一表示?? ??1,?,?s,?? ?? ??1,?,?s??s
④?1,?,?t??1,?,?s?? ??1,?,?s,?1,?,?t??? ??1,?,?s?
?? ??1,?,?t??? ??1,?,?s?
⑤?1,?,?s??1,?,?t?? ??1,?,?s??? ??1??s,?1??t??? ??1,?,?t?
矩阵的秩的简单性质 0?r?A??min?m,n?
r?A??0?A?0
A行满秩：r?A??m
A列满秩：r?A??n
n阶矩阵A满秩：r?A??n
A满秩?A的行（列）向量组线性无关
6
?A?0
?A可逆
?Ax?0只有零解，Ax??唯一解。
矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩 ①r?AT??r?A?
②c?0时，r?cA??r?A?
③r?A?B??r?A??r?B? ④r?AB??min?r?A?,r?B??
⑤
A可逆时，r?AB??r?B?
弱化条件：如果A列满秩，则??AB????B?
证：下面证ABx?0与Bx?0同解。
?是
ABx?0的解?AB??0
?B??0??是Bx?0的解
B可逆时，r?AB??r?A?
⑥若AB?0，则r?A??r?B??n（A的列数，B的行数）
⑦
A列满秩时r?AB??r?B?
B行满秩时r?AB??r?A?
⑧r?AB??n?r?A??r?B?
解的性质 1．
Ax?0的解的性质。
如果?1,?2,?,?e是一组解，则它们的任意线性组合c1?1?c2?2???ce?e一定也是解。 ?i,A?i?0?A?c1?1?c2?2???ce?e??0
2．
Ax?????0?
①如果?1,?2,?,?e是Ax??的一组解，则
c1?1?c2?2???ce?e也是Ax??的解?c1?c2???ce?1
7
c1?1?c2?2???ce?e是Ax?0的解?c1?c2???ce?0
A?i????i
A?c1?1?c2?2???ce?e??c1A?1?c2A?2???ceA?e
??c1?c2???ce??
特别的： 当?1,?2是Ax??的两个解时，?1??2是Ax?0的解
②如果?0是Ax??的解，则n维向量?也是Ax??的解????0是Ax?0的解。解的情况判别 方程：Ax??，即x1?1?x2?2???xn?n??
有解????1,?2,?,?n
???A|?????A?????1,?2,?,?n,??????1,?2,?,?n? 无解???A|?????A? 唯一解???A|?????A??n 无穷多解???A|?????A??n
方程个数m：
??A|???m,??A??m
①当??A??m时，??A|???m，有解
②当m?n时，??A??n，不会是唯一解
对于齐次线性方程组Ax?0，
只有零解???A??n（即A列满秩） （有非零解???A??n）
特征值特征向量 ?是A的特征值??是A的特征多项式xE?A的根。
两种特殊情形： （1）
A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。
??**? A?? 1?0? ?2??? ?00? 3?? 8
x?? 1?*?*
xE?A?0x?? 2????x?? 1??x?? 2??x?? 3? 00x?? 3 （2）r?A??1时：A的特征值为0,0,?,0,tr?A?
特征值的性质 命题：n阶矩阵A的特征值?的重数?n?r?? E?A?
命题：设
A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则
①? 1? 2?? n?A ②? 1?? 2???? n?tr?A? 命题：设?是
A的特征向量，特征值为?，即A????，则
①对于
A的每个多项式f?A?，f?A???f?x??
②当
A可逆时，A?1??1??，A*??|A|??
命题：设
A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则
①
f?A?的特征值为f?? 1?,f?? 2?,?,f?? n?
②
A可逆时，A?1的特征值为
111? ,?,?,1 2?
n
A*的特征值为
|A|? ,|A|,?,|A| 1? 2? n ③
AT的特征值也是? 1,? 2,?,? n
特征值的应用 ①求行列式|A|?? 1,? 2,?,? n
②判别可逆性 ?是A的特征值?? E?A?0?A?? E不可逆
A?? E可逆??不是A的特征值。
当
f?A??0时，如果f?c??0，则A?cE可逆
若?是A的特征值，则f???是f?A?的特征值?f????0。
f?c??0?c不是A的特征值?AcE可逆。
n阶矩阵的相似关系 当AU?UA时，B?A，而AU?UA时，B?A。
9
相似关系有i）对称性：A~B?B~A
U?1AU?B，则A?UBU?1
ii）有传递性：
A~B，B~C，则A~C
U?1AU?B，V?1BV?C，则
?UV??1A?UV??V?1U?1AUV?V?1BV?C
命题 当A~B时，A和B有许多相同的性质
①
A?B
②??A????B?
③
A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。
A与B的特征向量的关系：?是A的属于?的特征向量?U?1?是B的属于?的特征向量。A?????B?U?1?????U?1?? ? ?
U?1A???U?1??U?1AUU?1????U?1??
正定二次型与正定矩阵性质与判别
可逆线性变换替换保持正定性
f?x1,x2,?,xn?变为g?y1,y2,?,yn?，则它们同时正定或同时不正定
A~?B，则A，B同时正定，同时不正定。
例如B?CTAC。如果A正定，则对每个x?0
xTBx?xTCTACx??Cx?TACx?0
（C可逆，x?0，?Cx?0！）
我们给出关于正定的以下性质
A正定?A~?E
?存在实可逆矩阵C，A?CTC。
?A的正惯性指数?n。
?A的特征值全大于0。
?A的每个顺序主子式全大于0。
判断
A正定的三种方法：
①顺序主子式法。 ②特征值法。 ③定义法。
基本概念
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