从而也是x1?1?x2?2???xs?s?0的解，则有
c1?1?c2?2?c4?4?0，
?1,?2,?3也相关。 ②极大无关组相对应，从而秩相等。 ③有一致的内在线表示关系。 设：A???1,?2,?,?s?，B???1,?2,?,?s?，则
x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Ax?0， x1?1?x2?2???xs?s?0 即 Bx?0。
?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?s有相同的线性关系即Ax?0与Bx?0同解。 反之，当Ax?0与Bx?0同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。
矩阵的秩 定理：矩阵
A的行向量组的秩=列向量组的秩
规定r?A??行（列）向量组的秩。
r?A?的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即r?A?。
命题：r?A??A的非零子式阶数的最大值。
方程组的表达形式
??a11x1?a12x2???a1nxn?b1 1．??a21x1?a22x2???a2nxn?b2
????am1x1?am2x2???amnxn?bm 2．
Ax?? ?是解?A???
3．x1?1?x2?2???xn?n?? 有解????1,?2,?,?n
基础解系和通解 1．
Ax?0有非零解时的基础解系
16
?1,?2,?,?e是
Ax?0的基础解系的条件：
Ax?0的解
①每个?i都是
②?1,?2,?,?e线性无关
③Ax/
?0的每个解???1,?2,?,?e
③
通解
l?n???A?
①如果?1,?2,?,?e是
c1?1Ax?0的一个基础解系，则Ax?0的通解为
?c2?2???ce?e，ci任意
Ax?????0?的一个解，?1,?2,?,?e是Ax?0的基础解系，则Ax??的通解为
②如果?0是
?0
?c1?1?c2?2???ce?e，ci任意
特征向量与特征值 定义：如果?特征值。 设
?0，并且A?与?线性相关，则称?是A的一个特征向量。此时，有数?，使得A????，称?为?的
A是数量矩阵?E，则对每个n维列向量?，A????，于是，任何非零列向量都是?E的特征向量，特征值都是?。
①特征值有限特征向量无穷多 若
A????，A?c???cA??c?????c??
A?1???1???A?c1?1?c2?2??c1A?1?c2A?2???c1?1?c2?2?
A?2???2? ②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 ③计算时先求特征值，后求特征向量。
特征向量与特征值计算
A????,??0
???E?A???0,??0
??E?A?x?0的非零解
??是 命题：①?是
A的特征值?? E?A?0
②?是属于?的特征向量??是
?? E?A?x?0的非零解
17
称多项式 ?是
xE?A为A的特征多项式。
A的特征值??是A的特征多项式xE?A的根。
?的重数：?作为 n阶矩阵
xE?A的根的重数。
A的特征值有n个：? 1,? 2,?,? n，可能其中有的不是实数，有的是多重的。
计算步骤： ①求出特征多项式 ②求
xE?A。
xE?A的根，得特征值。
③对每个特征值? i，求
n阶矩阵的相似关系 设
n阶矩阵的对角化 基本定理
?? iE?A?x?0的非零解，得属于? i的特征向量。
A，B是两个n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U，使得U?1AU?B，则称A与B相似，记作A~B。
A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。
设可逆矩阵U???1,?2,?,?n?，则
0??1??0?1 UAU??0??0??2000??00?
?0??0?n??00??1??0 ?A??1,?2,?,?n??U?0??0? ? 判别法则
?2000??00????1?1,?2?2,?,?n?n? ??0?0?n??0A?i??i?i，i?1,2,?,n
A可对角化?对于A的每个特征值?，?的重数?n????E?A?。
计算：对每个特征值?i，求出令U??iE?A?x?0的一个基础解系，把它们合在一起，得到n个线性无关的特征向量，?1,?,?n。
???1,?2,?,?n?，则
0??1??0?1 UAU??0??0??2000??00?，其中?i为?i的特征值。 ??0?0?n??0 18
二次型（实二次型） 二次型及其矩阵
一个n元二次型的一般形式为
f?x1,x2,?,xn???aiixi2?2?aijxixj
i?1i?jn 只有平方项的二次型称为标准二次型。 形如：x12222?x2???x2p?xp?1???xp?q的n元二次型称为规范二次型。
对每个n阶实矩阵
A，记x??x1,x2,?,xn?T，则xTAx是一个二次型。
f?x1,x2,?,xn??xTAx
A的秩??A?为这个二次型的秩。
称
标准二次型的矩阵是对角矩阵。 规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。
可逆线性变量替换
设有一个n元二次型
f?x1,x2,?,xn?，引进新的一组变量y1,y2,?,yn，并把x1,x2,?,xn用它们表示。
?c1n??c22?c2n?是可逆矩阵） ?????cn2?cnn??c12?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?c11??x?cy?cy???cy?2?c212112222nn ? （并要求矩阵C???????c??n1?xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn 代入替换。 设Yf?x1,x2,?,xn?，得到y1,?,yn的一个二次型g?y1,?,yn?这样的操作称为对f?x1?xn?作了一次可逆线性变量
??y1,y2,?,yn?T，则上面的变换式可写成
则
x?CYf?x1?xn??xTAx?YTCTACY?g?y1,?,yn?
于是g?y1,?yn?的矩阵为CTAC
?CTAC?T?CTATCT?CTAC
实对称矩阵的合同 两个n阶实对称矩阵
A和B，如果存在n阶实可逆矩阵C，值得CTAC?B。称A与B合同，记作A~?B。
命题：二次型
f?x1?xn??xTAx可用可逆线性变换替换化为
19
g?y1?yn??YTBY?A~?B
二次型的标准化和规范化
1．每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。
也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。 设
A是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得D?Q?1AQ是对角矩阵。
T QAQ?Q?1AQ?D A~D，A~?D
2．标准化和规范化的方法
①正交变换法 ② 配方法
3．惯性定理与惯性指数
定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和小于0的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。
一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。 用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵等。
实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。
正定二次型与正定矩阵 定义：一个二次型
A合同于唯一规范对角矩阵。
定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相
f?x1,x2,?,xn?称为正定二次型，如果当x1,?,xn不全为0时， f?x1,x2,?,xn??0。
例如，标准二次型
22正定?di?0，i?1,?,n f?x1,x2,?,xn??d1x12?d2x2???dnxn （必要性“?”，取x1 实对称矩阵正定即二次型x?1，x2???xx?0，此时f?1,0,?,0??d1?0同样可证每个di?0）
TAx正定，也就是：当x?0时，xTAx?0。
?? 1??0 例如实对角矩阵?0??0? 定义：设
0? 2000??00?正定?? i?0，i?1,?,n
?0??0? n??为
0A是一个n阶矩阵，记Ar是A的西北角的r阶小方阵，称Ar
A的第r个顺序主子式（或r阶顺序主子式）。
附录一 内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化
一．向量的内积 1．定义
两个n维实向量?,?的内积是一个数，记作
??,??，规定为它们对应分量乘积之和。
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