?ab?设B???与A可以交换，则有?cd??11??ab??ab??11?AB?BA,即????=?????01??cd??cd??01??a?cb?d??aa?b? 则有??=??cdcc?d?????c?0,即??a?d?ak?则B????a,k?R?与A可以交换?0a?线性代数练习题 第二章 矩 阵
系 专业 班 姓名 学号 §2.3 方阵 一、f(x)?3?5x?x2，A???2?1?． ?，计算f(A)。?33??-5??12??5??7-5??00????????15???1512??00??2?1??2?1??7解：A2?????=???33???33???15?30??10f?A??3E?5A?A2??????03???15
?1???2?，且?(x)?x2?2x?3. 求?(?),?(?). 二、设????3??????1???1+2?3??0???????解：?(?)=???2?=4?4?3?5?????
??????3??9?6?3??12??????(?)?0三、已知A是n阶方阵,且满足A?A?E?A?A,计算A?E.
4235解：因为A4?A2?E?A3?A，则A5?A3?A?A4?A2即A?A?A?A?A，两边同时加E有A+E?A?A?E?A?A?054235423
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四、设A???12??10??B?????下列等式是否成立。
?13??12?
(1) AB?BA；
(2) (A?B)2?A2?2AB?B2； (3) (A?B)(A?B)?A2?B2． 均不成立
五、举反例说明下列命题是错误的． (1) 若A2?O? 则A?O；
2(2) 若A?A? 则A?O或A?E；
(3) 若AX?AY? 且A?O? 则X?Y．
?01?（1）A???
00??（2）A???00?? ?01??01??11??10?（3）A???,X???,Y???
000000??????六、计算题
(1) ??1????10?0????； (2) ?0?1?(n?2) 1??00????nn?10??10??10??10?（）解：1??????????类推可得??1???1???1??2?1??10??10???????1n?1????n2
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2??10???10???10??????????（2）解：0?1?0?10?1????????0?00???00???00???0???????2??10??????0?1????0?00???0???322??201??2???2??2??201???10???33?2????2???0?1???0?3?00???0?2?0????3???3?2?类推可得 ?3????10???0?1????00????n线性代数练习题 第二章 矩 阵
系 专业 班 姓名 学号 §2.4 逆矩阵
一．选择题
1．设A是n阶矩阵A的伴随矩阵，则 [ B ] （A）A??AA?1 （B）A?A?n?1? （C）(?A)??A （D）(A)?0
?n???2．设A，B都是n阶可逆矩阵，则 [ C ] （A）A+B 是n阶可逆矩阵 （B）A+B 是n阶不可逆矩阵 （C）AB是n阶可逆矩阵 （D）|A+B| = |A|+|B|
3．设A是n阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A）
?A??A （B）?A??A （C）?A??nA （D）?A??nA
4．设A，B，C是n阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A）CBA = E （B）BCA = E （C）BAC = E （D）ACB = E 二、填空题：
??1?1?2?1．已知AB?B?A，其中B???21??，则A??1??????22．设??1?2?? 1????25??46????，则X = X?????13??21??213??? ?0?4???13．设A，B均是n阶矩阵，A?2，B??3，则2AB4n = ?
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4．设矩阵A满足A?A?4E?0，则(A?E)?1? 三、计算与证明题：
2A?2E 21． 设方阵A满足A?A?2E?0，证明A及A?2E都可逆，并求A和(A?2E)?1 2?1答案： A?1?A?E2;(A?2E)?1?3E?A4. ?12． 设A??2?1??34?2??，求A 的逆矩阵A?1
??5?41????4A*??20???136???1A,|?|2;???324???2?答案：
??210??A?1?A*|A|??131 ??3??.?22???167?1??
?3． 设A??033??110??且满足AB?A?2B，求 B
???123??答案： B?(A?2E)?1A
???33?A?2E???233??1?10??,(A?2E)*??1???113???121????,?11?1??
??133??33??03?B?1???02??11310????1???3??123??.?11?1?????123????110??9
A?2E|?2;|
线性代数练习题 第二章 矩 阵
系 专业 班 姓名 学号 §2.5 转置矩阵与对称矩阵
一\\选择题 1、设C?(11,0,0,)，A?E?CTC，B?E?2CTC，则AB? [ B ] 22T（A）E?CC （B）E （C）?E （D）0
2．设A为任意n阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A）A?A （B）A?A （C）AA （D）AA
3．设n阶矩阵A，B，C，满足ABAC = E，则 [ A ] （A）ABACTTTTTTTT?E （B）A2B2A2C2?E （C）BA2C?E （D）CA2B?E
?1?13??x1?????T二、设对称矩阵A???122?，x??x2?，计算xAx．
?320??x????3?解：xTAx??x1
三、已知???1,2,3? ???1,,?，设A??x2?1?13??x1? ????x3???122??x2??x12?2x22?2x1x2?6x1x3?4x2x3?320??x????3??11??23?T?，计算An．
解：An??T??T??T???T???T?n?1???T3n?1?
121321?3??2?3??1?????1?1??11?????3n?1?T??3n?1?2??1,,??3n?1?2??3??23??????3?
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