整理得：2a﹣4=， 解得：a=1+或a=1﹣（舍）， ∴Q（1+，2﹣2）． 综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）． 点评： 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 22．（9分）（2018?资阳）如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值．
考点： 切线的判定；勾股定理；解直角三角形． 分析： （1）连接DO，DB，由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°，可以得出∠CDB=90°，根据E为BC的中点可以得出DE=BE，就有∠EDB=∠EBD，OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD，由的等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论． （2）作EF⊥CD于F，设EF=x，由∠C=45°，得出△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得BE=CE=x，AB=BC=2x，AE=x，进而就可求得sin∠CAE的值． 解答： 解：（1）连接OD，BD， ∴OD=OB ∴∠ODB=∠OBD． ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠CDB=90°． ∵E为BC的中点， ∴DE=BE， ∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD， 即∠EDO=∠EBO． ∵BC是以AB为直径的⊙O的切线， ∴AB⊥BC， ∴∠EBO=90°， ∴∠ODE=90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）作EF⊥CD于F，设EF=x ∵∠C=45°， ∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形， ∴CF=EF=x， ∴BE=CE=x， ∴AB=BC=2x， 在RT△ABE中，AE=∴sin∠CAE==． =x， 点评： 本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，解答时正确添加辅助线是关键． 23．（11分）（2018?资阳）如图，E、F分别是正方形ABCD的边DC、CB上的点，且DE=CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF． （1）求证：△ADE≌△DCF；
（2）若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；
（3）连接AQ，设S△CEQ=S1，S△AED=S2，S△EAQ=S3，在（2）的条件下，判断S1+S2=S3是否成立？并说明理由．
考点： 四边形综合题． 分析： （1）由正方形的性质得出AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，再由SAS即可证出
△ADE≌△DCF； （2）先证出∠DAE=∠CEQ，再证明△ADE∽△ECQ，得出比例式CQ=DE，即可得出结论； （3）先证明△AEQ∽△ECQ，得出△AEQ∽△ECQ∽△ADE，得出面积比等于相似比的平方，再由勾股定理即可得出结论． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°， 在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（SAS）； （2）证明：∵E是CD的中点， ∴CE=DE=DC=AD， ∵四边形AEHG是正方形， ∴∠AEH=90°， ∴∠AED+∠CEQ=90°， ∵∠AED+∠DAE=90°， ∴∠DAE=∠CEQ， ∵∠ADE=∠DCF， ∴△ADE∽△ECQ， ∴=， ， ，证出∴CQ=DE， ∵DE=CF， ∴CQ=CF， 即Q为CF的中点； （3）解：S1+S2=S3成立；理由如下：如图所示： ∵△ADE∽△ECQ， ∴， ∵DE=CE， ∴， ∵∠C=∠AEQ=90°， ∴△AEQ∽△ECQ， ∴△AEQ∽△ECQ∽△ADE，
∴，， ∴2=（2）+（22）=2， ∵EQ+AE=AQ， ∴=1， ∴S1+S2=S3． 点评： 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，需要多次证明三角形相似才能得出结论． 24．（12分）（2018?资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x相交于
2
B、C两点．
（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；
（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）首先求出C的坐标，然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可； （2）因为DM∥OF，要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则DM=OF，
设M（x，﹣x+1），则D（x，x），表示出DM，分类讨论列方程求解； （3）根据勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形． 解答： 解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，）， 又∵直线BC过C、F两点， 故得方程组： 2解之，得， 所以直线BC的解析式为：y=﹣x+1； （2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示， 设M（x，﹣x+1），则D（x，x）， ∵MD∥y轴， ∴MD=﹣x+1﹣x， 由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x|=1， ①当﹣x+1﹣x=1时， 解得x1=0（舍）或x1=﹣3， 所以M（﹣3，）， 22222②当﹣x+1﹣x，=﹣1时， 解得，x=所以M（， ，）或M（，）， 综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形， M点坐标为（﹣3，）或（，）或（，）； （3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示， ∵点B（m，n）在抛物线上， 2∴m=4n， 在Rt△BTF中，
BF==== ， ∵n＞0， ∴BF=n+1， 又∵BR=n+1， ∴BF=BR． ∴∠BRF=∠BFR， 又∵BR⊥l，EF⊥l， ∴BR∥EF， ∴∠BRF=∠RFE， ∴∠RFE=∠BFR， 同理可得∠EFS=∠CFS， ∴∠RFS=∠BFC=90°， ∴△RFS是直角三角形． 点评： 本题主要考查了待定系数法求解析式，平行四边形的判定，平行线的性质，勾股定理以及分类讨论和数形结合等数学思想．