【优化指导】2013年高考数学第一轮总复习 4-4（基础巩固强化+能力拓展提升+备选题库+优化指导，含解析）新人教版B版
1.(文)(2012·豫南九校联考)函数y＝cosax－sinax的最小正周期为π，则a的值是( )
A．－1 C．2 [答案] D
2ππ22
[解析] y＝cosax－sinax＝cos2ax，T＝＝＝π，∴a＝±1.
2|a||a|
B．1 D．±1
2
2
?a1a2?
(理)(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)定义行列式运算??＝a1a4
?a3a4?
－a2a3.将函数f(x)＝?
?sin2x?cos2x3?π
?的图象向左平移6个单位，以下是所得函数图象的一1?
个对称中心的是( )
π
A．(，0)
4π
C．(，0)
3[答案] B
ππ
[解析] 根据行列式的定义可知f(x)＝sin2x－3cos2x＝2sin(2x－)，向左平移
36ππππ
个单位得到g(x)＝2sin[2(x＋)－]＝2sin2x，所以g()＝2sin(2×)＝2sinπ＝0，
6322π
所以(，0)是函数的一个对称中心，选B.
2
2．(2012·平顶山、许昌新乡二调)设△ABC的三个内角A、B、C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )
A.C.π 62π 3
B.D.π 35π 6π
B．(，0)
2π
D．(，0)
12
[答案] C
[解析] m·n＝3sinAcosB＋3sinBcosA＝3sin(A＋B)＝3sinC，cos(A＋B)＝－π1
cosC，∵m·n＝1＋cos(A＋B)，∴3sinC＝1－cosC，∴sin(C＋)＝，
62
2π
∵0 3 3．(文)(2012·深圳市一调)已知直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( ) 7A．－ 35C. 7[答案] D 1 [解析] 由条件得tanα＝2，tanβ＝－， 3tanα＋tanβ ∴tan(α＋β)＝＝1－tanα·tanβ 1－ 1 2＋－ 3 1－37B. 3D．1 ＝1. 23 (理)(2011·北京东城区期末)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB3的值为( ) 1115A. B. C. D. 4323[答案] B [解析] ∵C＝120°，∴A＋B＝60°， tanA＋tanB∴tan(A＋B)＝＝3， 1－tanAtanB231 ∵tanA＋tanB＝，∴tanAtanB＝. 334．已知实数a、b均不为零，A.3 C．－3 [答案] B πasin2＋bcos2atan2＋b)＝＝＝，所以a＝1，b6acos2－bsin2a－btan23 1－tan2 3 tan2＋ 33 asin2＋bcos2πb＝tanβ，且β－2＝，则＝( ) acos2－bsin26aB.3 33 3 D．－[解析] tanβ＝tan(2＋ 33，故ba＝33 . 5．(文)在△ABC中，如果sinA＝3sinC，B＝30°，那么角A等于( ) A．30° B．45° C．60° D．120° [答案] D [解析] ∵△ABC中，B＝30°，∴C＝150°－A， ∴sinA＝3sin(150°－A)＝32cosA＋3 2 sinA， ∴tanA＝－3，∴A＝120°. (理)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010 ，α、β均为锐角，则β等于( A.5π 12 B.π 3 C.π4 D.π6 [答案] C [解析] ∵α、β均为锐角，∴－ππ 2<α－β<2， ∴cos(α－β)＝1－sin 2 α－β＝ 310 10 ， ∵sinα＝ 5 ?5?5 ，∴cosα＝1－? ?5?2? ＝25 5. ∴sinβ＝sin[α－(α－β)] ＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝22 . ∵0<β<π2，∴β＝π 4 ，故选C. 6．(文)函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为( ) A．5 B.92 C.1 2 D.52 [答案] C [解析] f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx ＝3sinxcosx－4cos2 x＝32 sin2x－2cos2x－2 ) ＝ 54＝sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝， 2351 所以f(x)的最大值是－2＝.故选C. 22 ?π?(理)已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈?0，?，若a∥b，则 2?? π??tan?α－?＝( ) 4?? 1A. 72C. 7[答案] B [解析] ∵a∥b，∴1－4cos2α＝sinα(3sinα－2)， ∴5sinα＋2sinα－3＝0， 33?π?∴sinα＝或sinα＝－1，∵α∈?0，?，∴sinα＝， 2?55?π?tanα－131?∴tanα＝，∴tan?α－?＝＝－. 4?1＋tanα47? 4m－6 7．(文)要使sinα－3cosα＝有意义，则m的取值范围是________． 4－m7 [答案] [－1，] 3 ππ [解析] ∵sinα－3cosα＝2(sinαcos－sincosα) 33π ＝2sin(α－)∈[－2,2]， 34m－6 ∴－2≤≤2. 4－m由由 4m－6 ≥－2得，－1≤m<4； 4－m4m－677 ≤2得，m≤或m>4，∴－1≤m≤. 4－m33 2 1 B．－ 72D．－ 7 π (理)函数f(x)＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴是直线x＝，则直线ax－by＋c4＝0的倾斜角的大小为________． [答案] 3π (或135°) 4 [解析] f(x)的图象的对称轴过其最高点或最低点， πa－b2222 ∴f()＝±a＋b，∴＝±a＋b，解得a＋b＝0.∴直线ax－by＋c＝0的斜率 42 ak＝＝－1， b3π ∴直线ax－by＋c＝0的倾斜角为135°(或)． 4 ππ 8．已知α、β∈(0，)，且tanα·tanβ<1，比较α＋β与的大小，用“<”连 22接起来为________． π [答案] α＋β< 2 ?π?[解析] ∵tanα·tanβ<1，α、β∈?0，?， 2?? ∴ sinα·sinβ <1，∴sinα·sinβ cosα·cosβ ∴cos(α＋β)>0， π ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<. 2 9．已知tanα、tanβ是关于x的一元二次方程x＋4x－5＝0的两实根，则＝________. [答案] 1 [解析] ∵tanα、tanβ为方程x＋4x－5＝0的两根， ??tanα＋tanβ＝－4，∴???tanα·tanβ＝－5， 2 2 α＋β α－β ∴＝ α＋βα－β－41＋－ sinαcosβ＋cosαsinβtanα＋tanβ＝＝ cosαcosβ＋sinαsinβ1＋tanαtanβ ＝1. 2 10．(文)(2012·吉林延吉市质检)已知函数f(x)＝－23sinx＋sin2x＋3. (1)求函数f(x)的最小正周期和最小值； (2)在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．