因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，得2sinAcosB＋sinA＝0， 1
因为sinA≠0，所以cosB＝－，
22π
又B为三角形的内角，所以B＝. 32π2π
(2)∵B＝，∴f(x)＝2cos(2x－)，
33π2π
∴g(x)＝2cos[2(x＋)－]
123π
＝2cos(2x－)＝2sin2x，
2
ππ
由2kπ－≤2x≤2kπ＋ (k∈Z)得，
22
kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
ππ
故f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
44
35ππ3
9．(2011·晋中一模)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，)，sin(β－)＝，β∈
5445ππ
(，)． 42
(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．
92
[解析] (1)由题意得(sinα＋cosα)＝，
594
即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.
55
π32
又2α∈(0，)，∴cos2α＝1－sin2α＝，
25sin2α4
∴tan2α＝＝. cos2α3
ππππ
(2)∵β∈(，)，β－∈(0，)，
4244π4
∴cos(β－)＝，
45
πππ24
于是sin2(β－)＝2sin(β－)cos(β－)＝. 44425π24
又sin2(β－)＝－cos2β，∴cos2β＝－. 425
π
4π4
π7
又2β∈(，π)，∴sin2β＝.
2251＋cos2α42
又cosα＝＝，
25
255π
∴cosα＝，sinα＝(α∈(0，))．
554∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β ＝
252457115×(－)－×＝－. 52552525