x2x2?1?11??1?思路:注意到
1?x21?x21?x2，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
x21dx?dx?dx?x?arctanx?C. 解：?22??1?x1?x注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分
解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)（?x134-+3-4）dx 2xxx思路:分项积分。 解：（-x13411?3?4+-）dx?xdx?dx?3xdx?4x34?2xxx?x??dx 2?134?x2?ln|x|?x?2?x?3?C. 423★(8)
32(??1?x21?x2)dx
3211?)dx?3dx?2dx?3arctanx?2arcsinx?C. 22??221?x1?x1?x1?x思路:分项积分。 解：(?★★(9)
?xxxdx
xxx?？看到xxx?x7815思路:解：
111??248?x78，直接积分。
?8xxxdx??xdx?x8?C.
151?x2(1?x2)dx
★★(10)
思路:裂项分项积分。 解：
111111dx?(?)dx?dx?dx???arctanx?C. ?x2(1?x2)?x21?x2?x2?1?x2xe2x?1dx ★(11)?xe?1e2x?1(ex?1)(ex?1)xxdx??dx?(e?1)dx?e?x?C. 解：?xx?e?1e?1★★(12)
xx3?edx
6
（3e）。 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3e?x（3e）解：?3edx??（3e）dx??C.
ln(3e)xxxxxx★★(13)
?cot2xdx
22思路:应用三角恒等式“cotx?cscx?1”。
22解：cotxdx?(cscx?1)dx??cotx?x?C
??2?3x?5?2x★★(14)?3xdx
思路:被积函数
2?3x?5?2x2x?2?（5），积分没困难。
3x3x2()x2?3?5?22x3解：?dx?（2?（5））dx?2x?5?C. x?33ln2?ln32x★★(15)cos?2dx
x思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
x1?cosx11d?dx?x?sinx?C. ?2?2221★★(16)?1?cos2xdx
解：cos2思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
11112dx?dx?secxdx?tanx?C. ?1?cos2x?2cos2x2?2cos2x★(17)?cosx?sinxdx
解：
思路:不难，关键知道“cos2x?cosx?sinx?(cosx?sinx)(cosx?sinx)”。
22cos2x?cosx?sinxdx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C.
cos2x★(18)?cos2x?sin2xdx
解：
思路:同上题方法，应用“cos2x?cosx?sinx”，分项积分。
22cos2xcos2x?sin2x11dx?dx?dx?解：??cos2x?sin2x?sin2x?cos2xx
cos2x?sin2x??csc2xdx??sec2xdx??cotx?tanx?C.
7
★★(19)
?(1?x1?x?)dx 1?x1?x1?x1?x1?x1?x2????1?x1?x1?x21?x21?x2，应用公式(5)即可。
思路:注意到被积函数
解：(?1?x1?x1?)dx?2?dx?2arcsinx?C.
21?x1?x1?x1?cos2x★★(20)?1?cos2xdx
思路:注意到被积函数
1?cos2x1?cos2x121??secx?，则积分易得。 21?cos2x222cosx1?cos2x11tanx?xdx??sec2xdx??dx??C. 解：?1?cos2x222★2、设
?xf(x)dx?arccosx?C，求f(x)。
d[?f(x)dx]?f(x)即可。 dx知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：解：等式两边对x求导数得：
xf(x)??★3、设
11?x2,?f(x)??1x1?x2
f(x)的导函数为sinx，求f(x)的原函数全体。
知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。
解：由题意可知，f(x)?sinxdx??cosx?C1
所以
?（?cosx?C1）dx??sinx?C1x?C2。 f(x)的原函数全体为：?12xxexx★4、证明函数e,eshx和echx都是的原函数
2chx-shx知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：只需验证即可。
d1ddex?e2x，而[(e2x)]?[exshx]?[exchx]?e2x 解：?dx2dxdxchx?shx★5、一曲线通过点
(e2,3)，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。
8
知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积
函数的关系。
思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为y?f(x)，由题意可知：
又点(e2d1[f(x)]?，?f(x)?ln|x|?C； dxx,3)在曲线上，适合方程，有3?ln(e2)?C,?C?1，
f(x)?ln|x|?1.
所以曲线的方程为
★★6、一物体由静止开始运动，经秒后的速度是3tt2(m/s)，问：
（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？
知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的
关系。
思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：y?f(t)，
则由速度和位移的关系可得：
d[f(t)]?3t2?f(t)?t3?C， dt又因为物体是由静止开始运动的，?(1)
f(0)?0,?C?0,?f(t)?t3。
3秒后物体离开出发点的距离为:f(3)?33?27米；
3(2)令t?360?t?3360秒。
习题4-2
★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。
思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解：(1)dx?111d(7x?3);(2)xdx??d(1?x2);(3)x3dx?d(3x4?2); 72121dx1dx1d(e2x);(5)?d(5ln|x|);(6)??d(3?5ln|x|);2x5x5
1dx1dx1(7)dt?2d(t);(8)?d(tan2x);(9)?d(arctan3x).223cos2x21?9xt(4)e2xdx?2、求下列不定积分。
知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。
思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形
式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！
★（1）
3te?dt
9
思路:凑微分。 解：edt?★(2)
?3t13t13ted(3t)?e?C ?333?(3?5x)dx
3思路:凑微分。
311(3?5x)4?C 解：?(3?5x)dx???(3?5x)d(3?5x)??5201★(3)?3?2xdx
思路:凑微分。 解：
1111dx??d(3?2x)??ln|3?2x|?C. ?3?2x2?3?2x2★(4)
?135?3xdx
思路:凑微分。
12?11111解：?dx???3d(5?3x)???(5?3x)3d(5?3x)??(5?3x)3?C.
335?3x325?3xxb★(5)
?(sinax?e)dx
思路:凑微分。
1x1解：?(sinax?e)dx??sinaxd(ax)?b?ebd()??cosax?beb?C
aba★★(6)
xbxx?costtdt
12t思路:如果你能看到d(t)?dt，凑出d(t)易解。
解：
?costtdt?2?costd(t)?2sint?C
★(7)
102tanxsecxdx ?思路:凑微分。 解：tan★★(8)
?10xsec2xdx??tan10xd(tanx)?1tan11x?C. 11dx?xlnxlnlnx
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。
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