解：
dxd(ln|x|)d(ln|lnx|)???xlnxlnlnx?lnxlnlnx?lnlnx?ln|lnlnx|?C
2?tan1?x★★(9)
xdx1?x2
思路:本题关键是能够看到xdx1?x2 是什么，是什么呢？就是d1?x2！这有一定难度！
解：tan1?x?2xdx1?x2??tan1?x2d1?x2??ln|cos1?x2|?C
★★(10)
dx?sinxcosx
思路:凑微分。 解：
方法一：倍角公式sin2x?2sinxcosx。
dx2dx??sinxcosx?sin2x??csc2xd2x?ln|csc2x?cot2x|?C
方法二：将被积函数凑出tanx的函数和tanx的导数。
dxcosx112?dx?secxdx??sinxcosx?sinxcos2x?tanx?tanxdtanx?ln|tanx|?C
方法三： 三角公式sinx?cosx?1，然后凑微分。
22dxsin2x?cos2xsinxcosxdcosxdsinx?dx?dx?dx????sinxcosx?sinxcosx?cosx?sinx?cosx?sinx
??ln|cosx|?ln|sinx|?C?ln|tanx|?C
★★(11)
dx?ex?e?x
。
dxexdxdexdex思路:凑微分：x?2x???x2xe?ee?11?e1?(ex)2dxexdxdex解：?x??2x???arctanex?C ?xx2e?ee?11?(e)★(12)
2xcos(x)dx ?思路:凑微分。 解：xcos(x)dx?★★(13)
?21122cosxdx?sinx2?C ?22?xdx2?3x2
11
思路:由1dx21d(2?3x2)凑微分易解。 ???22222?3x62?3x2?3xxdx1?1d(2?3x2)1122??????(2?3x)d(2?3x2)??2?3x2?C
6632?3x22?3x2解：
?xdx★★(14)
2cos?(?t)sin(?t)dt
思路:凑微分。
解：cos(?t)sin(?t)dt??21?2cos?(?t)sin(?t)d?t??1?2cos?(?t)dcos(?t)
??1cos3(?t)?C. 3?3x3★★(15)?1?x4dx
思路:凑微分。
3x334x331313444dx?dx?dx??d(1?x)??ln|1?x|?C. 解：444?1?x4???41?x41?x41?x4★(16)
sinx?cos3xdx
思路:凑微分。 解：
sinx111dx??dcosx??C. 2?cos3x?cos3x2cosx★★(17)
?x92?xx920dx
思路:经过两步凑微分即可。 解：
?111dx??dx10??102?x20102?x2011?(x102)21x10d?arcsin()?C
2102x10★★(18)
?1?x9?4x2dx
思路:分项后分别凑微分即可。 解：
?1?x9?4x2dx??19?4x2dx??x9?4x2dx
12
12x11d??d4x22x2389?4x21?（）3112x11??d??d（9?4x2）
222x2389?4x1?（）312x1?arcsin()?9?4x2?C.234?★★(19)
12?dx?2x2?1
思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：
dxdx111??(??2x2?1?(2x?1)(2x?1)2?2x?12x?1)dx
??1221?(11?)d2x2x?12x?111d(2x?1)?2x?12222??11d(2x?1)?ln2x?1222x?1?C.2x?1
★(20)
xdx?(4?5x)2
思路:分项后分别凑微分即可。 解：
xdx14?5x?4111??（）dx?（?4）d(4?5x) 2?(4?5x)2?5(4?5x)2?254?5x(4?5x)?1141141d(4?5x)?d(4?5x)?ln|4?5x|??C.
25?4?5x25?(4?5x)225254?5xx2dx★(21)?(x?1)100
思路:分项后分别凑微分即可。
x2dx(x?1?1)2dx(x?1)2(x?1)1解：???(?2?)dx 100100100100100??(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)??(??111?2?)d(x?1) 9899100(x?1)(x?1)(x?1)111111???C. 97989997(x?1)49(x?1)99(x?1) 13
★★(22)
xdx?x8?1
思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：
xdxxdx111111??(?)xdx?(?)dx2 44?x8?1?(x4?1)(x4?1)?2x4?1x4?1?4x?1x?11111111122[(?)?]dx?[d(x?1)?d(x2?1)]22422???42x?1x?1x?18x?1x?1 2111x?11??22dx2?ln|2|?arctanx2?C.4(x)?18x?14?★(23)
?cos3xdx
思路:凑微分。cosxdx?dsinx。
3222解：cosxdx?cosx?cosxdx?cosxdsinx?(1?sinx)dsinx
????1?sinx?sin3x?C
3★★(24)
?cos22(?t??)dt
思路:降幂后分项凑微分。 解：cos(?t??)dt??1?cos2(?t??)11dt?dt?cos2(?t??)d2(?t??) ???224??11t?sin2(?t??)?C 24?★★★(25)
?sin2xcos3xdx
111(sin5x?sinx)dx?sin5xd5x?sinxdx ?2??102思路:积化和差后分项凑微分。 解：sin2xcos3xdx????11cos5x?cosx?C 102★★★(26)
?sin5xsin7xdx
111(cos2x?cos12x)dx?cos2xd2x?cos12xd(12x) ?2??424思路:积化和差后分项凑微分。 解：sin5xsin7xdx??11?sin2x?sin12x?C. 424★★★(27)
?tan3xsecxdx
思路:凑微分tanxsecxdx?dsecx。
3222解：tanxsecxdx?tanx?tanxsecxdx?tanxdsecx?(secx?1)dsecx
???? 14
1??sec2xdsecx??dsecx?sec3x?secx?C
3★★(28)
?10arccosx1?x2dx
思路:凑微分11?x2dx?d(?arccosx)。
解：
?10arccosx1?x2dx???10dx2arccosx10arccosxdarccosx???C.
ln10★★(29)
?(arcsinx)11?x1?x2
思路:凑微分2dx?d(arcsinx)。
解：
?(arcsinx)dx21?x2??darcsinx1???C 2arcsinx(arcsinx)★★★★(30)
?arctanxx(1?x)dx
2arctanx1?(x)2思路:凑微分arctanxx(1?x)dx?dx?2arctanxd(arctanx)。
解：
?arctanxx(1?x)dx??2arctanx1?(x)2dx??2arctanxd(arctanx)
?(arctanx)2?C
★★★★(31)
lntanx?cosxsinxdx
2思路:被积函数中间变量为tanx，故须在微分中凑出tanx，即被积函数中凑出secx，
lntanxlntanxlntanxlntanx2dx?dx?secxdx?dtanx 2cosxsinxtanxtanxcosxtanx1?lntanxd(lntanx)?d((lntanx)2)
2lntanxlntanxlntanxdx??dx?解：??tanxdtanx??lntanxd(lntanx) cosxsinxcos2xtanx1?(lntanx)2?C 2 15