★★★(23)
?ln(1?x)xdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：
ln(1?x)2xdx?ln(1?x)d(2x)=2xln(1?x)??x??1?xdx
令t?x，则dx?2tdt,
2xt21??dx?4?dt?4dt?4??1?t2dt?4t?4arctant?C
1?x1?t2?4x?4arctanx?C所以原积分
?ln(1?x)xdx?2xln(1?x)?4x?4arctanx?C。
ln(1?ex)★★★(24)?exdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
ln(1?ex)exx?x?xx?xdx??ln(1?e)d(?e)??eln(1?e)??edx 解：?ex1?exe?x1?xx??eln(1?e)??dx??eln(1?e)?d(1?e?x)?x?x? 1?e1?e??e?xln(1?ex)?ln(1?e?x)?C.?xx1。 ?1?exdx的其他计算方法可参照习题4-2，2（33）
1?x★★★(25)xln?1?xdx
注：该题中
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xln?1?x1?x12121?x121?x1?x?1?xdx??lnd(x)?xln??x?dx 21?x1?x221?x21?x(1?x)121?xx2121?x1?xln??dx?xln?dx?dx22??21?x1?x21?x1?x 11?x11111?x1?x2ln?x??(?)dx?x2ln?x???ln(1?x)?ln(1?x)?21?x21?x1?x21?x2121?x11?x11?xxln?x?ln?C?(x2?1)ln?x?C 21?x21?x21?x1?xdx??x[ln(1?x)?ln(1?x)]dx再利用分部积分法计算。 注： 该题也可以化为 ?xln1?x? 26
1?xx2?xln1?xdx??x[ln(1?x)?ln(1?x)]dx??[ln(1?x)?ln(1?x)]d2 x21?xx211x21?xx2ln???[?]dx?ln??dx ?221?x21?x1?x21?x1?xx21?x1?x2?1x21?x111ln??dx?ln?dx?[?]d ? x2??21?x1?x21?x2?1x?1xx21?x11?xln?x?ln?C ?21?x2?1x★★★(26)
dx?sin2xcosx
dxdxsec2xdxdtanx??思路：将被积表达式 写成，然后分部积分即可。
sin2xcosx2sinx2sinx2sinxcos2xdxdxsec2xdxdtanx????解：? 2??sin2xcosx2sinx2sinx2sinxcosxtanx1tanx1??tanx(?cscxcotx)dx???cscxdx2sinx22sinx2
1?(secx?lncscx?cotx)?C.2?2、 用列表法求下列不定积分。
知识点：仍是分部积分法的练习。
思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍
然用一般方法解出，不用列表法。
★(1)
3xxe?dx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：xedx?xd(e)?★(2)
x(x?1)edx ??3x?133x13x13x1111xe??edx?xe3x??e3xd3x?(x?)e3x?C. 333933思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
xxxxx解：(x?1)edx?(x?1)de?(x?1)e?edx?xe?C。
???★(3)
?x?2cosxdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
2解：xcosxdx?222xdsinx?xsinx?2xsinxdx?xsinx?2?xdcosx ?? 27
?x2sinx?2xcosx?2?cosxdx?x2sinx?2xcosx?2sinx?C
★(4)
2?x(x?1)edx ?思路：分项后分部积分即可。
2?x解：(x?1)edx???xe2?xdx??e?xdx??x2d(?e?x)??e?xdx
??e?xx2?2?xe?xdx??e?xdx??e?xx2?2?xd(?e?x)??e?xdx??ex?2xe?2?edx??edx??ex?2xe?3?edx??e?x(x2?2x?3)?C.
★(5)
?x2?x?x?x?x2?x?x?xln(x?1)dx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
12121x2dx 解：?xln(x?1)dx??ln(x?1)d(x)?xln(x?1)-?222x?1?12111111xln(x?1)??(x?1?)dx?x2ln(x?1)?x2?x?ln(x?1)?C. 22x?12422?xe?cosxdx
★(6)
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。
?x?x?x?x解：?ecosxdx?cosxd(?e)??ecosx?esinxdx
?????e?xcosx??sinxd(?e?x)??e?xcosx?e?xsinx??e?xcosxdxe?x??ecosxdx?(sinx?cosx)?C.2sinx★3、已知是f(x)的原函数，求?xf?(x)dx。
x?x
知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。
思路分析：积分 xf?(x)dx中出现了f?(x)，应马上知道积分应使用分部积分， 条件告诉你
是
?sinxxf(x)的原函数，应该知道?f(x)dx?sinx?C. x解：?xf?(x)dx?又???xd(f(x))=xf(x)??f(x)dx
sinxxcosx?sinxxcosx?sinx?C,?f(x)?,?xf(x)?; ?xxx2xcosx?sinxsinx2??xf?(x)dx???C?cosx?sinx?C
xxxf(x)dx?★★4、已知
exf(x)=x，求
?xf??(x)dx。
28
知识点：仍然是分部积分法的练习。
思路分析：积分xf??(x)dx中出现了f??(x)，应马上知道积分应使用分部积分。 解：?xf??(x)dx?xd(f?(x))?xf?(x)?????f?(x)dx?xf?(x)?f(x)?C.
exxex?exex(x?1)ex(x?1),?f?(x)=?,?xf?(x)=; 又?f(x)=22xxxxex(x?1)exex(x?2)??xf??(x)dx???C??C.
xxx★★★★5、设nI?dx1cosxn?2I????In?2。 (n?2)，；证明：n?sinnxn?1sinn?1xn?1cosx和In?2 提示我们如何在被积函数的表达式
sinn?1x知识点：仍然是分部积分法的练习。
思路分析：要证明的目标表达式中出现了In，
1cosx1中变出 和 呢？这里涉及到三角函数中1的变形应用，初等数学中有过专门的nn?1n?2sinxsinxsinx介绍，这里1可变为sin22x?cos2x。
2证明：?1=sinx?cosx
dxsin2x?cos2xcos2xsin2xcos2x1?In??n??dx?dx?dx?dx??sinnx?sinnx?sinnx?sinn?2xdxsinxsinnxcos2xcosx??dx?I?dsinx?In?2n?2nn?sinxsinxcosx?sinx?sinnx?nsinn?1xcos2x?sinx??sinx?dx?In?2n2nsinxsinxcosxcos2xcosx1?sin2x??In?2?n?dx?In?2??In?2?n?dx?In?2sinn-1xsinnxsinn?1xsinnxcosxcosx??I?nI?nI?I??nIn?(n?2)In?2n?2nn?2n?2n?1n?1sinxsinx1cosxn?2?In???n?1?In?2.n?1sinxn?1★★★★6、设
f(x)为单调连续函数，f-1(x)为其反函数，且?f(x)dx?F(x)?C ，
求：
?f?1(x)dx。
知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。 思路分析：要明白x?f(f解：??1(x))这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。
?f-1(x)dx=xf-1(x)-?xd(f-1(x))
29
又?x?f(f?1(x))
??f?1(x)dx?f?1(x)??xd(f?1(x))?f?1(x)??f(f?1(x))d(f?1(x))
又??f(x)dx?F(x)?C
??f?1(x)dx?f?1(x)??f(f?1(x))d(f?1(x))?f?1(x)?F(f?1(x))?C.
习题4-4
1、 求下列不定积分
知识点：有理函数积分法的练习。
思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，
通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析。
x3★(1)?x?3dx
思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。
x3x3?27?2727??x2?3x?9?解：? x?3x?3x?3x32727??dx??(x2?3x?9?)dx??(x2?3x?9)dx??dxx?3x?3x?3 13?x3?x2?9x?27lnx?3?C.32x5?x4?8★★★(2) ?x3?xdx
思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。
x5?x4?8(x5?x3)?(x4?x2)?(x3?x)?x2?x?8x2?x?82??x?x?1?3, 解：?33x?xx?xx?x而x3?x?x(x?1)(x?1),
x2?x?8ABC???令，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：
x3?xxx?1x?1?A?B?C?1?A?8???C?B?1解此方程组得：?B??4 ??C??3A?8?? 30