第十一章 梁和刚架的极限荷载
§11—1 一般概念
在前几章，我们讨论了结构的内力计算问题。但不论用什么方法以及对哪种结构，我们都假定结构是弹性的。也就是说，在使结构产生变形的荷载全部卸除以后，结构仍将恢复原来的形状。此外，我们还假定，材料服从虎克定律，即应力和应变成正比。两者合在一起即称为线性弹性。由材料力学我们知道，塑性材料（或称延性材料，如钢材）、或是脆性材料（如铸铁）的物体，在应力未达到比例极限以前，都近似符合上述情况。以此为根据的上述计算，通常即称为弹性分析。利用弹性分析的结果，我们就可以进行设计，以确定结构杆件截面的尺寸；或是已知杆件截面的尺寸而验算最大的应力。
长期以来，人们认识到，弹性分析具有一定的缺点。例如，对于塑性材料的结构，尤其是超静定的结构，在最大应力到达屈服极限，甚至某一局部已进入塑性阶段时并不破坏，也就是说，并没有耗尽全部承载能力。但弹性分析就无法考虑材料超过屈服极限以后结构的这一部分承载力，因此表明按弹性设计是不够经济的。
塑性分析方法就是为了改进弹性分析的缺点而提出并发展起来的。按照塑性分析解决结构的强度问题时，需要计算结构的极限荷载，也就是结构开始破坏瞬时的荷载值，或者说塑性变形将开始无限制地增长时的荷载值。 在塑性分析中，为了计算的简化，对于所用材料，常采用如图11—1所示的应力一应变（σ－ε）关系。σs屈服极限，εs为屈服应变。应力σ和应变ε在屈服极限σs之前成正比（材料处于弹性阶段），到达屈服极限后，材料进入塑性阶段。如对
图11－1
结构继续加载，应变将无限制地增加，而应力不变仍为σs。若在到达B点后，对结构卸载，应力和应变将同时成比例地减少，在σ－ε图上可以用直线BC表示（BC||OA）。此时，材料的性质又恢复为弹性的，服从上述应力－应变关系的材料，我们称为理想弹塑性材料。在本章中我们还假定材料拉，压时的应力－应变关系相同。
§11－2极限弯矩；塑性铰；破坏机构
为了说明塑性分析中几个基本概念，我们考虑一理想弹塑性材料的矩形截面梁，承受纯弯曲作用图11－2所示假设弯矩作用在对称平面内。随着弯矩的增大，梁的各部分逐渐由弹
性阶段过渡到塑性阶段。实验表明，无论在哪一阶段，都可以认为，原来的平面截面在弯曲以后仍然保持为一平面。
在梁由弹性阶段过渡到塑性阶段时，截面应力和应变以及塑性区的变化过程如图11－3所示。其
中图a表示截面的全部纤维仍在弹性阶段。图b表示最外侧纤维应力到达屈服值，这时的弯矩称为屈服弯矩，用MS表示。图c表示弹塑性阶段，这时外侧部分纤维屈服（图中用阴影线表示的部分），但内部尚在弹性阶段，这一部分通常称为弹性核。图d表示塑性阶段，即除去极小一部分弹性核外，其余全部纤维已屈服，为便于计算，通常将这极小一部分弹性核略去，这样，上下两部分塑性区就连结在一起，也就是说，整个截面应力都达到屈服值。相应的弯矩值称为截面的极限弯矩，并以MJ表示。这时，截面的纵向纤维在极限弯矩值保持不变的情况下将无限制地伸长或缩短。因此，在该截面所在的一小段内，梁将产生转动。这一截面称为塑性铰。塑性铰和普通铰的区别在于：普通铰不能承受弯矩，而塑性铰则能承受弯矩（极限弯矩），但在荷载减小后，由于弯矩也随之减小，塑性铰即消失，也就是，截面即不再有塑性铰的性质。此外，普通铰为双向铰，它的两侧可以沿两个方向发生相对转动，而塑性铰则为单向铰，它的两侧只能发生与极限弯矩指向一致的单向相对转动。
图11－2
图 11－5 图11－3 设有一简支梁AB如图11－4中的实线所示。在集中荷载P的作用下，截面C处的弯
矩MC最大。若荷载P逐渐增大，MC最终将达到极限弯矩值，这时截面C即形成一个塑性铰。由于简支梁两端原有两个铰，在截面C处又形成一个塑性铰后，该梁即变成一个几何可变体系。
图 11－4
我们就把这一几何可变体系称为破坏机构，或简称机构。这时，
梁可以发生任意大小的位移（图中虚线表示某一位移状态，黑点表示塑性铰），而荷载不变。这种状态称为极限状态或破坏。如上所述，结构开始破坏的瞬时荷载也就是极限荷载。 截面的极限弯矩MJ可以利用平衡条件求得。以图11－5，a所示的截面为例。图11－5，b表示极限状态的应力分布图。设A1和A2分别代表中性轴以上和以下部分截面面积；A为截面总面积；G1和G2分别为A1和A2的形心；z1和z2分别为两个形心到中性轴的距离。由平衡条件可知，截面法向内力之和应等于零。这样得
A1σs＝A2σs
或 A1＝A 2＝0.5A 即表明在极限状态下中性轴将截面面积分为两个相等部分。极限弯矩
MJ＝A1σs z1＋A2σs z1＝σs（0.5Az1＋0.5Az2）
或 MJ＝σs（S1＋S2） 如令 WS＝S1＋S2 则得
MJ＝σs WS
（11－1） （11－2）
图 11－5
式中S1＝0.5Az1和S2＝0.5Az2分别代表A1和A2对中性轴的静矩。WS称为塑性截面模量。对于矩形截面，设以b和h分别代表截面的宽和高，则
WS?2?bhh12??bh 244因此，矩形截面的极限弯矩
MJ?12bh?s 4 （11－3）
而截面弹性模量
1W?bh2
6所以矩形截面的屈服弯矩
1Ms?bh2?s
6极限弯矩与屈服弯矩之比
MJWS??? MSW称为截面形状系数，其值与截面形状有关。对于矩形截面，由上可知，α=1.5；对于圆形截面α＝1.7；对于工字形截面α≈1.15。
§11—3 单跨超静定梁的极限荷载
对结构进行塑性分析的主要目的，就是要确定它的极限荷载。这时，由于在结构的某些部分形成了塑性铰而使结构成为一破坏机构，变形将继续增大，而荷载值则保持不变。在§11－5我们将要介绍可以直接确定极限荷载的方法。利用这种直接方法，可以不必考虑在荷载逐渐增大到极限值的过程中出现塑性铰的先后次序。为了更好地理解这种直接分析法，我们以下举例说明随着荷载的增大，塑性铰相继形成而使结构最终变为一破坏机构的过程，并说明如何确定极限荷载。
考虑一两端固定的等截面梁AB，承受均布荷载q，如图11－6，a所示。设正负弯矩的极限值都等于MJ。试求极限荷载qJ。
在加载的初始过程，梁处于弹性阶段。弯矩分布如图11－6，b所示，两端弯矩值最大，都等于ql2／12。因而当荷载到达屈服值qs时，两端截面的最外纤维首先屈服。由
qsl2?MS 12得
qS?12MS 2l（a）
而跨中截面C处弯矩为
MCS
qsl2MS ??242（b）
当荷载继续增大，A、B两端弯矩将首先达到极限值MJ。这时，截面A，B即形成塑性铰，梁转化成静定梁。此后若再继续加载，两端弯矩MJ保持不变，两个塑性铰将继续存在，而跨中截面C的弯矩则继续增大。当截面C的弯矩也达到MJ时，截面C也形成塑性铰。这样，梁即成为一破坏机构（图11－6，d），荷载达到极限值qJ，相应的弯矩图如图11—6，c所示。 极限荷载qJ值可以根据梁
在极限状态的平衡条件来计算。为此，有两种作法：一种常称为 “平衡弯矩法”，即根据平衡的要求，写出某个截面处的弯矩所应具有的关系式，藉以计算极限荷载。如在图11－6，c中，虚线ab和抛物线之间的部分即相当于简支梁在qJ作用下的弯矩图。它在跨中的最大竖标等于qJl2／8。根据梁的平衡条件，有 由此得
qJ?16MJ （c） 2lqJl2?MJ?MJ 8
图 11－6
另一种作法，则是利用虚位移原理，写出表征平衡条件的虚功方程，藉以计算极限荷载。如在图11－6，d（梁成为一破坏机构）中，使机构有一虚位移，C移到C’，根据虚位移原理可得
MJ???MJ?2??MJ???2或
4MJ????l/20qJ?x?dx
1qJl2? 4