[解] 需要指出，对于这种相邻两跨截面不等的连续梁，如果在截面改变处形成塑性铰，这个塑性铰必然在极限弯矩较小的截面上。对于本例来说，也就是塑性铰将出现于BC跨的B端。因为若塑性铰出现在AB跨的B端，则极限弯矩将是较大的一个，即1.5MJ，而这时BD跨靠B端一段的弯矩将大于本跨的极限弯矩，显然这是不合理的。
一、用机动法求极限荷载的上限值 几种可能的破坏机构分别如图11－9，c、d，e所示。 1．机构1 由虚位移原理得
故 PJ?2.5MJ a 2．机构2
图 11－9
3．机构3
比较以上结果，可知其中最小值1.83MJ就是极限荷载的上限值。 a二、试算法求极限荷载
我们验算P?1.83MJ是否满足屈服条件。此时的弯矩图大致如图11－9，b，在梁的aD、B处已出现塑性铰；AB跨中各截面弯矩的绝对值不会大于1.5MJ。再计算截面F的弯矩
可见屈服条件也巳满足。故
PJ?1.83MJ a例11-3 求图11-10，a所示两跨连续梁极限荷载。设两跨的极限弯矩都等于MJ。
[解] 我们预先不知道BC跨内最大弯矩（出现第二个塑性铰）的位置，因此，设塑性铰距B支座的距离为x（参见图11－10，a）。 设可能的破坏机构如图11－10，b所示。由虚位移原理得
ql?x?
图11－10
为了确定塑性铰的位置，应使q为最小，因而由
故
1?l???MJ???? 2l?x??
dq?0，可得 dx
x?(2?2)l
2)l?l，不必考虑。将x?(2?2)l代入上式，得极限荷载的上限值
另一个解x?(2?
与所求荷载相应的梁的弯矩图如图11－10，c所示，由此M图可以看出，屈服条件也是满足的，因此，以上所得q?11.65MJ也就是极限荷载值。 l2 §11－6 用矩阵位移法计算刚架的极限荷载
在第十章我们曾用矩阵位移法求刚架的位移和内力。同样，我们也可以用它计算刚架的极限荷载。在以下的讨论中，除本章中以前的各项假定外，尚采用下面的假定： 1．所有荷载按比例增加，且全为结点荷载；如有非结点荷载，则将它们作用处的截面作为结点处理。
2.结构上某处形成塑性铰后，假设塑性区在该处退化为一个截面，而其余部分仍为弹性区。
现在将矩阵位移法计算刚架极限荷载的原理概述如下：
（1）因假定所有荷载系按比例增加，亦即比例加载，故可先设荷载参数P=1，然后用矩阵位移法求出各控制截面（结点）的弯矩，从而即可判明出现第一个塑性铰的位置，并可求出相应的荷载参数P1。计算过程中所组成的整体刚度矩阵设为K1。
（2）根据前一步骤求出的塑性铰（这时刚架中增加了一个铰结点）修改整体刚度矩阵，设修改后的整体刚度矩阵为K2。再令荷载参数P=1，算出各控制截面的弯矩。根据这些弯矩值以及各控制截面的极限弯矩与第一个塑性铰出现时弯矩的差值，可以判明出现第二个塑性铰的位置并求出相应的荷载参数增量△P2。此时荷载参数P2＝P1＋△P2。
（3）根据刚架中已出现了两个塑性铰的情况，再修改整体刚度矩阵，设为K3。仍令荷载参数P=1，求各控制截面的弯矩。仿照（2）中作法，判明第三个塑性铰出现的位置，并求出相应的荷载参数P3。
（4）重复以上作法，直至（假设为第n步）整体刚度矩阵变为奇异矩阵为止。此时刚架成为破坏机构，相应的荷载参数Pn-1即为所要求的极限荷载。
为了进一步比较详细地说明用矩阵位移法求刚架极限荷载的过程，以下给出一个例题；
图 11－11
但为节省篇幅，只列出计算步骤而略去数字演算
例11-4 求图11－11，a所示刚架的极限荷载 [解] （a）第一阶段（图11－11）
先设荷载参数P=l，用矩阵位移法求出各控制截面1、2、3、4、5的弯矩如图11－11，b所示。设结构的整体刚度矩阵为K1。
再用各控制截面的M1。值除相应截面的极限弯矩，其中最小值就是这第一阶段终了时的荷载参数P1，亦即
将图11－11，b中的M1乘以1.61MJ/a即得与P1＝1.61MJ/a相应的弯矩M1如图11-11，c所示。可以看出，这时在右柱上端截面4处出现了第一个塑性铰。 （b）第二阶段（图11－12）
在这一阶段的计算中，截面4即可当作铰结点并据以修改整体刚度矩阵，设为K2。再令荷载参数P=1，算出各控制截面的弯矩M2如图11－12，a所示。
将各控制截面的极限弯矩与相应的弯矩M1（图11－11，c）的差值除以相应的M2，其中最小值即为第二阶段的荷载参数增量
图 11－1 2
将图11－12，a中的厨2乘以△P2即得弯矩增量△M2如图11－12，b所示。然后将△M2与图11－11，c中相应的M1叠加即得如图11－12，c所示的M2。荷载参数的累加值为
图11－13
这时，在截面5处又出现一个塑性铰（图11－12，c）。 （c）第三阶段（图11－13）
因为截面5处又形成一个塑性铰，据此可再修改整体刚度矩阵，设为K3。仍令P=1并算出各控制截面的弯矩M3（图11－13，a）。
将各控制截面的极限弯矩与相应的弯矩M2（图11－12，c）的差值除以相应的M3，其中最小值即为第三阶段的荷载参数增量
图11－14
用△P3乘M3 （图11－13，a）得弯矩增量△M3（图11-13，b），再与相应的M2（图11－12，c）叠加则得M3如图11－14，c所示。荷载参数的累加值为
这时，在截面1处又形成一个塑性铰。 （d）第四阶段（图11－14）
由于截面1又形成塑性铰，因此须再修改整体刚度矩阵，设为K4。仍令P＝1，算出各控制截面的弯矩M4（图11-14，a）。
将各控制截面极限弯矩与相应的弯矩M3（图11-13，c）的差值除以相应的M4，其中最小值即为第四阶段的荷载参数增量
△P4乘M4（图11－14，a）得弯矩增量△M4（图11-14，b）。然后与M3（图11-13，c）叠加则得M4（图11－14，c）荷载参数累加为
在截面3又形成一个塑性铰（图11－14，c）。 （e） 第五阶段
如图11－14，c所示，刚架在截面3处又形成一个塑性铰，再修改的整体刚度矩阵为一奇异矩阵，说明刚架己变为机构，因此
P?2.29MJ a即为所求的极限荷载。
通过以上计算可以看出，整体刚度矩阵须逐步修改，所以这一方法又称为变刚度法。又因为极限荷载是由各阶段的荷载参数增量累加而得，故称为增量法。需要指出的是，在加载过程中，我们假设塑性铰一旦形成即不再受反向变形而恢复其弹性作用。如果结构的实际变形情况并非如此，则以上算法需要修改。