由此得
qJ?16MJ 2l和式（c）相同。
§11－4 比例加载的几个定理
由上节的例题可以看到，当结构只有一种可能的破坏形式时，直接确定其极限荷载并不困难；但若结构可能有很多种破坏形式时，就需要判别哪一种是实际的破坏形式，以便确定极限荷载。为此，我们可以应用以下有关确定极限荷载的几个定理。在介绍这几个定理之前，我们先指出结构在极限状态下所必须满足的几个条件：
（1）机构条件：当荷载达到极限值时，结构上必将有足够数目的截面（该处弯矩达到极限弯矩值）形成塑性铰，而使结构变为一破坏机构。
（2）屈服条件：当荷载达到极限值时，结构上各个截面的弯矩都不能超过其极限值，即－MJ≤M≤MJ。
（3）平衡条件：当荷载达到极限值时，作用在结构整体上或任一局部上所有的力都必须维持平衡。
在下述几个定理中，我们假定作用在结构上的所有荷载都按一定的比例增加，即所谓比例加载的情况。
与弹性分析时一样，在进行塑性分析时，我们也假定结构的变形很小，从而可以按照未变形的状态考虑各力之间的平衡。此外，由于弹性变形常远小于塑性变形，对在极限状态下的变形，便可以略去前者，而只考虑塑性变形。在以下的讨论中，我们还略去了对极限弯矩影响较小的剪力和轴力的作用。
现在我们给出确定极限荷载的三个定理： 1．上限定理（或称机动定理，也称极小定理）
这个定理可以表述为：对于一比例加载作用下的给定结构，按照任一可能的破坏机构，由平衡条件所求得的荷载（即同时满足机构条件和平衡条件的荷载，这一荷载称为可破坏荷载）将大于或等于极限荷载。换种方式，这一定理也可以表述为：对于一比例加载作用下的给定结构，按照各种可能的破坏机构，由平衡条件所求得的各可破坏荷载，其最小值就是极限荷载的上限值。
2．下限定理（或称静力定理，也称极大定理）
这个定理可以表述为：对于一比例加载作用下的给定结构，按照任一静力可能而又安全（即同时满足平衡条件和屈服条件）的弯矩分布所求得的荷载（称为可接受荷载）将小于或等于极限荷载。
换种方式，这一定理也可以表述为：对于一比例加载作用下的给定结构，按照各种静力可能而又安全的弯矩分布所求得的各可接受荷载，其最大值就是极限荷载的下限值。 3.单值定理（或称唯一性定理）
将以上两个定理综合在一起就得到这一定理。它可以表述为：对于一比例加载作用下的给定结构，如荷载既是可破坏荷载，同时又是可接受荷载，则此荷载即极限荷载。 这一-定理也可表述为：对于一比例加载作用下的给定结构，同时满足平衡条件，屈服条件和机构条件的荷载也就是极限荷载。
§11－5 确定极限荷载的方法；连续梁的极限荷载
在这一节，我们介绍确定极限荷载的机动法和试算法，并利用连续梁加以说明，而后再分析几个连续梁的例题。
一、机动法（或称机构法）
机动法是以上限定理为依据的。按照上限定理，要确定某一给定结构的极限荷载时，我们首先假定各种可能的破坏机构，而后根据平衡条件（此种情况下，利用虚位移原理比较方便）分别计算相应的荷载。这些荷载都将大于或等于极限荷载，而其中的最小值就是极限荷载的上限值。这样求得的荷载都满足机构条件和平衡条件。
以下我们从图11－7，a所示的两跨等截面连续梁为例来说明这一方法。设两跨的极限弯矩都等于MJ。
假定为比例加载，P1:P2=1.1P:P=1.1:1。P即荷载参数。现在求其极限值PJ。 我们假定4种破坏机构分别如图11—7，b、c、d、e所示。现分别计算相应的荷载。
图 11－7
对于机构1，设有一虚位移如图11—7，b所示。根据虚位移原理，由于这一虚位移，荷载所做的功应等于塑性铰处极限弯矩MJ所做的功。因此得以下的虚功方程
P×aθ＝MJ×θ＋MJ×2θ
故 P＝3 MJ/a>PJ
也就是说，P应大于或等于极限荷载PJ。
其次，考虑机构2（图11－7，c）。类似地，可得
1.1 P×2aθ＝MJ×3θ＋MJ×2θ
MJ?PJ 故 P?2.27a 再考虑机构3（图11－7，d）。在这个机构中，D处塑性铰向上移动。这表明该塑性铰是由负弯矩所产生，也就是D处的MJ应为负，即弯矩为最小。现在我们设荷载以向下为正。取梁轴为x轴，以向右为正；并将集中荷载看作为在梁上分布于很小一段的均布荷载q之和。这样根据已知的关系式
d2M ??q 2dxd2M 可知，因q?0，故?0。这说明：M图曲线为U形状；此外，又因设此处已形
dx2成塑性铰，即弯矩已达到极限值，若如此，则此处弯矩为最大，于是MJ应为正。而这却与假定的破坏形式不相符的，故说明机构3不是可能的破坏机构。同样，机构4也是不可能的。因此，我们今后即不再考虑类似这样的破坏机构。这也表明，对于等截面连续梁（各跨截面可以不等），若各跨荷载的作用方向相同，则每跨的破坏与其它跨的荷载和尺寸无关。而当连续梁的某一跨破坏时（如机构1或机构2）梁即丧失承载能力；因此，在分析连续梁时，可以将各跨即作为一单跨超静定梁而分别计算。
比较由机构1和机构2所得的结果，其中最小值2.27MJ就是极限荷载PJ的上限值。 a 通过上例可将机动法求极限荷载的步骤归纳如下：
（1）确定可能出现塑性铰的各个位置（如集中荷载作用点，杆与杆的接合点，分布荷载作用下剪力为零的点，截面尺寸变化处等）。 （2）选择各种可能的破坏机构。
（3）利用虚位移原理求各相应的荷载，其最小值就是极限荷载的上限值。
二、试算法
试算法是以单值定理为依据的。我们可以检验某个荷载是否同时为一可破坏荷载和可接受荷载，据此来确定极限荷载。
一般说来，与计算可接受荷载相比，求结构的可破坏荷载较为简便。因此，我们可以先用机动法求极限荷载的上限值，然后验算与这一荷载相应的弯矩分布是否满足屈服条件，如果满足，这一荷载也就是极限荷载。
仍以图11－7，a所示的两跨连续梁为例。以上用机动法得出极限荷载的上限值为
2.27MJ，现在绘出与其相应的弯矩图如图11－7，f所示。在截面D，B处已出现塑性铰，a在这两处的弯矩分别为MJ和－MJ。为了验算屈服条件，只需计算截面E的弯矩
ME?MMP?2aMJ1???2.27J?2a?J?0.64MJ?MJ 424a2可见已满足屈服条件，因此，
2.27MJ也就是极限荷载a值，即
PJ?2.27MJ a 下面我们再分析几个例题。
例11－1 求图11－8，a所示三跨连续梁的极限荷载。设各跨的极限弯矩都等于MJ。
[解] 一、用机动法求极限荷载的上限值
图11－8
选择4种可能的破坏机构
分别如图1 1-8，b，c，d，e所示。 1．机构1
由虚位移原理得
2．机构2
3．机构3
4．机构4
比较以上所得结果，可知最小值1.33MJ就是所求极限荷载的上限值。 a二、用试算法求极限荷载
现在检验一下上面根据机构4所得到的上限值1.33MJ是否满足屈服条件。由图11-8，af所示与机构4相应的弯矩图可以看出，AB跨上其它截面弯矩的绝对值都小于MJ；而BC和CD两跨上任一截面弯矩的绝对值，不难证明，在任何情况下（如使MC在零和－MJ之间变化）也都小于MJ。这表明屈服条件也已满足。因此，得极限荷载
PJ?1.33MJ a 例11－2 求图11－9，a所示两跨连续梁的极限荷载。设AB和BC两跨截面不等但各自为等截面，其极限弯矩分别为1.5MJ和MJ。