山东省2010年高中学业水平考试
数学知识点总结
老师的话：
同学们，学业水平考试快到了！如何把数学复习好？老师告诉你：回到课本中去！
翻开课本，可以重温学习的历程，回忆学习的情节，知识因此被激活，联想由此而产生。课本是命题的依据，学业水平考试试题难度不大，大多是在课本的基础上组合加工而成的。因此，离开书本的复习是无源之水，那么如何运用课本呢？复习不是简单的重复，你们应做到以下6点：
1、在复习每一专题时，必须联系课本中的相应部分。不仅要弄懂课本提供的知识和方法，还要弄清定理、公式的推导过程和例题的求解过程，揭示例、习题之间的联系及变换 2、在做训练题时，如果遇到障碍，应有查阅课本的习惯，通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷，尽可能把问题回归为课本中的例题和习题
3、在复习训练的过程中，我们会积累很多解题经验和方法，其中不少是规律性的东西，要注意从课本中探寻这些经验、方法和规律的依据
4、注意在复习的各个环节，既要以课本为出发点，又要不断丰富课本的内涵，揭示课本内涵与试题之间的联系
5、关于解题的表达方式，应以课本为标准。很多复习资料中关键步骤的省略、符号的滥用、语言的随意性和图解法的泛化等，都是不可取的，就通过课本来规范
6、注意通过对课本题目改变设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能。现行课本一般是常规解答题，应从选择、填空、探索等题型功能上进行思考，并从背景、现实、来源等方面加以解释 必修一 一、集合
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A??x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C
中元素各表示什么？
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3 注意下列性质：
（1）集合?a1，a2，??，an?的所有子集的个数是2n；
（2）若A?B?A?B?A，A?B?B； 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
5. 一元一次不等式的解法：已知关于x的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解集为
1(??,?)，则关于x的不等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集为_______（答：{x|x??3}）
36. 一元二次不等式的解集：解关于x的不等式：ax2?(a?1)x?1?0。
11（答：当a?0时，x?1；当a?0时，x?1或x?；当0?a?1时，1?x?；当a?1aa1时，x??；当a?1时，?x?1）
a27. 对于方程ax?bx?c?0有实数解的问题。（1）?a?2?x2?2?a?2?x?1?0对一切x?R恒成立，则a的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）若在[0,]内有两个不等的
2实根满足等式cos2x?3sin2x?k?1，则实数k的范围是_______.（答：[0,1)）
二、函 数
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2.函数f: A?B是特殊的映射。若函数y?则b＝ （答：2）
3.研究函数问题时要树立定义域优先的原则：
（1）函数y??12x?2x?4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，2x?4?x?lg?x?3?2的定义域是____(答：(0,2)?(2,3)?(3,4))；
（2）设函数f(x)?lg(ax2?2x?1)，①若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；②若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围（答：①a?1；②0?a?1）
（3）复合函数的定义域：①若函数y?f(x)的定义域为?,2?，则f(log2x)的定义域
2为__________（答：x|2?x?4）；②若函数f(x2?1)的定义域为[?2,1)，则函数f(x)的定义域为________（答：[1,5]）． 4.求函数值域（最值）的方法：
（1）配方法―①当x?(0,2]时，函数f(x)?ax2?4(a?1)x?3在x?2时取得最大值，则a的取值范围是___（答：a?????1???1）； 217]）；②82（2）换元法①y?2sinx?3cosx?1的值域为_____（答：[?4,（令x?1?t，t?0。运用换元法时，y?2x?1?x?1的值域为_____（答：(3,??)）
cosx的值域为____（答：要特别要注意新元t的范围）；○3 y?sinx?cosx?sinx?1[?1,?22）]；○4y?x?4?9?x2的值域为____（答：[1,32?4]）；
2sin??12sin??13xy?（3）函数有界性法―求函数y?，y?，的值域（答：
1?sin?1?cos?1?3x13(??,]、,]）（0,1）、(??；
22192（4）单调性法――求y?x?(1?x?9)，y?sinx?的值域为______（答：
x1?sin2x(0,8011)、[,9]）； 92（5）数形结合法――已知点P(x,y)在圆x2?y2?1上，求
y及y?2x的取值范围x?2（答：[?33； ,]、[?5,5]）
33(a1?a2)2（6）不等式法―设x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值
b1b2范围是____________.（答：(??,0]?[4,??)）。
2??(x?1).(x?1)5.分段函数的概念。（1）设函数f(x)??，则使得f(x)?1的自变量x的取
??4?x?1.(x?1)(x?0)?1 ?[0,10]值范围是____（答：(??,?2]）；（2）已知f(x)??，则不等式
(x?0)??1 3x?(x?2)f(x?2)?5的解集是___（答：(??,]）
26.求函数解析式的常用方法：
（1）待定系数法―已知f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式 。（答：f(x)?2（2）配凑法―①已知f(1?coxs)?sinx,求fx??的解析式___（答：
212x?2x?1） 2112；②若f(x?)?x?2，则函数f(x?1)=___（答：f(x2)??x4?2x2,x?[?2,2]）
xxx2?2x?3）；
2（3）方程的思想―已知f(x)?2f(?x)?3x?2，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?）；
37. 函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ．．．．⑵f(x)是奇函数?f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)??1；
f(x)⑶f(x)是偶函数?f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)?1 ；
f(x)⑷奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)?0；
⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
（6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 8.函数的单调性。
如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？
y?f(u)（外层），u??(x)（内层），则y?f??(x)?
当内、外层函数单调性相同时，f??(x)?为增函数，否则f??(x)?为减函数
如：求y?log1?x?2x的单调区间。
2?2?2设u??x?2x，由u?0，则0?x?2且log1u?，u???x?1??1，如图
221]时，u?，又log1u?，∴y? 当x?(0，2，2)时，u?，又log1u?，∴y? 当x?[12∴……）
9. 函数图象⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作
图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：
u O 1 2 x ① 平移变换：ⅰy?f(x)?y?f(x?a)，(a?0)———左“+”右“-”； ⅱy?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)———上“+”下“-”； ② 伸缩变换：
ⅰy?f(x)?y?f(?x)， （??0)———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的
1?倍；
ⅱy?f(x)?y?Af(x)， （A?0)———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍；
??y??f(?x)；ⅱy?f(x)???y??f(x)； ③ 对称变换：ⅰy?f(x)???y?fⅲ y?f(x)???y?f(?x)； ⅳy?f(x)???④ 翻转变换：
ⅰy?f(x)?y?f(|x|)———右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）； ⅱy?f(x)?y?|f(x)|———上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）； 10．常用函数的图象和性质
(k<0) y (k>0) （1）一次函数：y?kx?b?k?0? y=b k（2）反比例函数：y??k?0?推广为 O’(a,b) x ky?b? O x ?k?0?是中心O'(a，b)的双曲线。
y x?a （3）二次函数 x=a 22x?0y?x(0,0)y?0?1(x)；
b?4ac?b?的y?ax2?bx?c?a?0??a?x???2a4a??图像为抛物线
(a>0) O k x1 x2 x ?b4ac?b2?b，顶点坐标为?? ?，对称轴x??2a4a2a??开口方向：a?0，向上，函数ymin4ac?b2?
4a a?0，向下，ymax4ac?b2?
4a应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax2?bx?c?0，??0时，两根x1、x2为二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交
点，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。
如：二次方程ax?bx?c?0的两根都大于
2???0?b?k????k，一根大于k，一根小于k?f(k)?0
?2a??f(k)?0（4）指数函数：y?ax?a?0，a?1? （5）对数函数：y?logax?a?0，a?1?
由图象记性质！（注意底数的限定！）
y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0
x 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求
?k 最值的区别是什么？ O k x 必修二 一、 立体几何 1．平行、垂直关系证明的思路
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线???线∥面???面∥面 ????线⊥线???线⊥面???面⊥面????线面平行的判定：
判定性质线∥线???线⊥面???面∥面 a b ??