行列式的计算方法
摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法
行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则
对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法． 2.定义法
根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于2n个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解．
例1 计算行列式
0001002003004000
这是一个四级行列式，在展开式中应该有4!?24项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是
a1j1a2j2a3j3a4j4．
显然，如果j1?4，那么a1j1?0，从而这个项就等于零．因此只须考虑j1?4的那些项；同理，只需考虑j2?3，j3?2，j4?1这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有a14a23a32a41)?6，这一项前面的符号应该是正的． 这一项，而?(4321所以
0001原式=
0020?1?2?3?4?24
03004000 3.化为三角形计算法
例2 计算行列式
1
1?9?253?12 解：
13?1573?58?9?7?10 1371?91371?232?9135?18?157130?1325170?132517 ???5026?34?2600168026?39?24001710?7?101?91371?9130?1325170?1325??00?1?200?1
717??312?2?24
001710000 这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用．
3.1各行(或列)加减同一行(或列)的倍数
适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形 例3 计算行列式
1?x1y11?x1y2?1?x1yn1?x2y11?x2y2?1?x2yn d????1?xny11?xny2?1?xnyn解：当n?3时，各列减去第一列 得：
1?x1y11?x2y1 d??1?xny1之所以等于零，是因为有两列成比例． 另外，当n?2时，
x1(y2?y1)?x1(yn?y1)x2(y2?y1)?x2(yn?y1)?0
??xn(y2?y1)?xn(yn?y1)1?x1y11?x1y21?x2y11?x2y2?(x2?x1)(y2?y1)
这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明．
3.2各行(或列)加到同一行(或列)上去 适用于各列(行)诸元素之和相等的情况.
2
例4 计算行列式
abb?bab? ?????bbb?bb ?a解：把所有各列都加到第一列上去， 得：
a?(n?1)bbb?b1bb?b??a?(n?1)bab?b?????[a?(n?1)b]1ab?b????a?(n?1)bbb?a1bb?a1bb?b
?[a?(n?1)b]0a?b0?0?????[a?(n?1)b](a?b)n?1000?a?b3.3 逐行(或列)相加减
有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。这样就使得行列式计算变得简便的多. 例5 计算行列式
1?3200?000001?320?0000?????????Dn?2?00000?1?320 00000?01?3210000?011001000?0011解：从第一列开始，每列乘以2加到后一列，
得：
1?100?000001?10?0000001?1?0000D?????????n?20000?1?100
0000?01?10122223?2n?22n?1?12n?32n?1?601222?2n?32n?22n?1?12n?3再将最后一行乘以（-2），加到倒数第二行，其余行都不变，得：
3
1?1001?10??0010按最后一列展开，得
00??000?100000??1112n?2000?0?11000?000Dn?20?00011?0002?1??0?00??
22?2n?32n?1?12n?31000?00000100?00000010?0000 Dn?2?(2?3)?n?000011?001???0?010?001?11?012??3(2n?3) 003 3.4 行(列)归一法
先把某一行(列)全部化为1，再利用该行(列)以及行列式的性质将原行列式化为三角形行列式，从而求出行列式的值． 例6 计算n阶行列式
xa?aax?a D????aa?x 解：它的特点是各列元素之和为(n?1)a?x，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出
(n?1)a?x，得
11?1aD?[(n?1)a?x]?x?a
??aa?x将第一行乘?a分别加到其余各行，化为三角形行列式，则
1D?[(n?1)a?x]1?10??[(n?1)a?x](x?a)n?1
0x?a???00?x?a 4.特殊行列式形如：
4
4.1 爪型行列式
a0c1c2?cnb1a1b2?bna2?an,bn?b2a2?anb1a1a0c1cn?a2a1b1an?,an?a2a1cn?c2c1bn?b2b1a0c2,c2?c1cna0b2?bn的行列式，称为爪型行列式．这种形式的行列式主要是利用对角线上的元素消去“横线”或“竖线”，化为三角形行列式再计算． 例7 计算行列式
a0c1D?c2?cnb1a1b2?bna2?an(ai?0(i?1,2,?n))
解 当ai?0(i?1,2,?,n)时，将第i+1列乘以?(列式：
ibia0??caici)(i?1,2,?n)后都加到第1列，得三角型行ainb1?bn0?0a2?0??0?anibi??aj(a0??ca) iD?00?0i?1nnj?1i?1 例8 计算行列式
2?xD?2226结论计算其值． 解
222222?y
2?x222?y22 分析：一般除主对角线上的元素，其余元素全部相同的行列式都可以化为爪型行列式，利用例
2?x?x?x?xD ci?(?1)c1222?x000y000?y
?{(2?x)?[2? 4.2 三对角线型行列式
(?x)(?x)(?x)?2??2?]}?(?x)?y?(?y)?x2y2(?x)y(?y) 5