第1,2,?,n列，因此
AB?C?(?1)s?B
C0其中
s?(n?1)?(n?2)??(n?n)?(1?2???n)?n2?2(1?2???n)?n2?偶数
即有
AB2?(?1)n?C?B
C0例17 计算行列式
a11a21a31b00a12a22a32ab0a13a23a330aba0b0a000a000000000
解 直接利用行列式的性质或行列式展开进行计算是相当繁杂的，而由公式2
ba0原式=(?1)3?02a0bba?0a0??b3?a3 00b00a 5.3 利用拉普拉斯定理
定理1：设在行列式D中任意取定了k(1?k?n?1)个行．由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D．
证明：设D中取定k行后得到的子式为M1,M2,?,Mt,它们的代数余子式分别为A1,A2,?,At,定理要求证明
D?M1A1?M2A2???MtAt
根据行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中每一项都是行列式D展开式中的一项，而且符号也一致，所以MiAi中每一项都是D中一项而且符号相同，而且MiAi和MjAj(i?j)无公共项．因此为了证明定理，只要证明等式两边项数相等就可以了．显然等式左边共有n!项，为了计算右边的项数，首先来求出t．根据子式的取法知道
t?Ckn?n!．
k!(n?k)!因为Mi中共有k!项，Ai中共有(n?k)!项．所以右边共有
t?k!?(n?k)!?n!
项．定理得证．
11
例18求行列式
D?12140?12110011331
解：在行列式D中取定第一、二行．得到六个子式：
M1?1201
14M4?,M5?,M6?.?12?1121它们对应的代数余子式为
0?121,M2?110224,M3?14,??M1?,A1?(?1)(1?2)?(1?2)M1??M3?,A3?(?1)(1?2)?(1?4)M3???M5?,A5?(?1)(1?2)?(2?4)M5根据拉普拉斯定理
???M2?,A2?(?1)(1?2)?(1?3)M2??M4?, A4?(?1)(1?2)?(2?3)M4??M6?.A6?(?1)(1?2)?(3?4)M6D?M1A1?M2A2???M6A6?120211011324111410?????? ?1201?11032101?(?1)?(?8)?2?(?3)?1?(?1)?5?1?6?3?(?7)?1?8?6?1?5?18?7??7. 从例子来看，用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的．这个定理主要是理论方面的应用． 6.析因子法
如果行列式有一些元素是变量x的多项式，那么可以将此行列式看作一个多项式f(x)，然后利用多项式理论，求出f(x)的互素的一次因式，进而求出行列式值的方法，称为“析因子法”． 例19 计算行列式：
0?121?133113?11?03?14?011112?x2223322331519?x2
解：可以把原式看成关于变量x的4次多项式f(x)．由
1123f(?1)?112311231?223?0 及f(?2)??0
231523152318231512
知，f(x)有因式x?1、x?2，且f(x)关于x的最高次数为4，故
f(x)?k(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)
又由原式知，f(x)中含x 的项为(2?x2)?(9?x2)及?4(2?x2)?(9?x2)，故x 的系 数为?3．因此，k??3，从而原式??3(x2?1)?(x2?4)． 例20 计算行列式：
44111?12x?a2?233?3???nnn?
x?a??x?a 解：可以把原式看成关于变量x 的n?1 次多项式f(x)，由于
f(2?a)?f(3?a)???f(n?a)?0
故f(x)有因式x?(2?a)、x?(3?a)、?、x?(n?a)，且f(x)关于x的最高次数为n?1，从而，
f(x)?k(x?a?2)(x?a?3)?(x?a?n)，由原式知，原行列式关于x的最高次项的系数为1，故k?1．因此，原式?(x?a?2)(x?a?3)?(x?a?n)．
7.加边法
加边法是把原行列式添加一行一列, 且其值不变, 所得的新行列式反而容易求出其值．该方法主适用于除主对角线上元素外, 各行(列)对应的元素分别相同的题型．添加行与列的方式一般有五种: (1)首行首列(2)首行末列(3)末行首列(4)末行末列以及(5)一般行列的位置． (1) 添加在末行末列 例21 计算行列式
1?a11?11?a2?Dn??11 解:
1111?11?an000011
?11???1?an?1?a1010?a2?1?a11?11?a2?Dn??110?110111111????????????1?an?11100?an?101?11?an100?0an1?001?1?1??1?11
10?01??00?10?1an?1001110?00?10?1an?100?01?1an00?001?
?aii?1n???00?0?1a1???011?1an?ai?1n01????i0?1a2??1100?1a100?1a2????i?1n1ai13
??a(1??a)
ii?1i?1inn1（2）添加在一般位置 例 22计算行列式
1x1Dn?x12?x1n?2x1n 解：通过添加行列得：
1x22x2????1xn2xn?n?2n?2x2?xnnx2?nxn
1x1x12Dn?1??x1n?2x1n?1x1n易见Dn?1是范德蒙行列式，则
1x22x2?n?2x2?1?xn2?xn??n?2?xn1yy2
yn?2yn?1ynn?1n?1x2?xnnnx2?xnDn?1??(y?xi)i?1n1?j?k?n?(xk?xj)
2n?1而行列式Dn的值为Dn?1按最后一列展开式y 8.拆分法
n?1项的系数乘以(?1).
本法主要依行列式的性质, 将给定的行列式表为几个行列式的和, 使新得的行列式便于计算．如果一个行列式的每一列的所有元素都可以写成这样的两项之和，使得其中某列的每个元素的第1项（或第2项）与另一列对应元素的某一项相同或成比例，则一般可考虑用“拆分法”． 例23 计算当n?3时
a1?b1c1a2?b1c2?an?b1cna?bca2?b2c2?an?b2cn D?121???a1?bnc1a2?bnc1?an?bncn解 按第一列之和分解为
1a2?b1c2D?a11a2?b2c2??1a2?bnc2?an?b1cn?an?b2cn?c1??an?bncnb1b2?bna2?b1c2?an?b1cna2?b2c2?an?b2cn??a2?bnc2?an?bncn
14
1b1c2?b1cnb1a2?ana2?an
?0??a2?an1b2c2?b2cnb2?a1?c1????1bnc2?bncn的和, 使问题简化以利于计算. 例24 计算行列式
bn把某1行( 或列) 的元素写成两数和的形式, 再利用行列式性质将原行列式写成2个行列式
0aa?ab0a?aDn?bb0?a????bbb?0 解：
n?n
0aa?a?0b0a?a?0Dn?bb0?a?0?
0aa?ab0a?a?bb0?a?n?n0aa?0b0a?0?bb0?0?n?n?????????n?nbbb?a?a0aa?1b0a?1?a?bb0?1????bbb?abbb?a0aa?0b0a?0?bb0?0????
bbb?1n?nbbb?an?n对上面的第一个行列，将第n列乘(?b)加到其余各列上，对第二个行列式按第n列展开，最后可得
?ba?ba?b0?ba?bDn?a00?b???000?1?1?1??10b?0?bn?nn?1a0b?baa0?b?a?a?a??0?a(?b)n?1?aDn?1
(n?1)?(n?1)这样，我们获得一个递推公式：Dn?a(?b)如果将Dn按下面方式拆项，又可得到
?aDn?1
baa?a00a?a?0b0?a????0bb?0
b?baa?aDn?bb?b0a?ab0?a???bb?0baa?ab0a?a?bb0?a????bbb?0n?nn?nn?n 15