类似于前面的方法可得另一个递推公式：Dn?b(?a)n?1?bDn?1
n?1??Dn?a(?b)?aDn?1联立上述两个递推关系式? n?1??Dn?b(?a)?bDn?1当a?b时，解得
Dn?(?1)当a?b时，解得
n?1ab(an?2?an?3b???abn?3?bn?2)?(?1)n?1an?1?bn?1 aba?bDn?(?1)n?1a2(an?2?an?2??an?2?an?2)?(?1)n?1an
9.递推与归纳
这种方法是根据行列式性质, 把一个n阶行列式表示为一个或若干个具有相同形状但阶数较低的行列式的关系式, 再利用关系式推出这个n阶行列式的值. 一般情况下, 主要方法有:
递推法1) 递推公式法就是先将行列式表示两个(或几个)低阶同型的行列式的线性关系式, 再用递推关系及某些低阶( 2阶, 1阶)行列式的值求出D的值.该方法适用于行(列)中0较多的或主对角线上、下方元素相同的题型．
归纳法2) 当行列式已告诉其值, 且值与自然数有关时, 一般用数学归纳法证明结果的正确性. 如果未告诉结果, 也可由递推关系式和前面几个低阶行列式的值, 通过观察猜想原行列式的值. 然后用数学归纳法证明猜想的正确性.
1） 利用已给的行列式的特点，建立起n 阶行列式与n?1阶行列式（或更低阶）行列式之间递推关系式，利用此关系式求行列式的值．降阶递推法，常见的有两类： （1）Dn?lDn?1型，此时根据递推关系有：Dn?ln?1D1
（2） Dn?pDn?1?qDn?2(n?2,q?0)型，此时我们不妨设?，?是方程x?px?q?0的根，则由根与系数的关系，得????p,????q，将其带入Dn?pDn?1?qDn?2中，有：
2Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2)??2(Dn?2??Dn?3)????n?2(D2??D1)Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2)??(Dn?2??Dn?3)????下面分两种情况进行讨论：
2n?2(1)(2)(D2??D1)
?n?1(D2??D1)??n?1(D2??D1)Case1:???,由（1）和（2）得:Dn????
Case2:???,由（1）和（2）得:Dn??Dn?1??n?2(D2??D1)??2Dn?2?2?n?2(D2??D1)????n?1D1?(n?1)?n?2(D2??D1)
（1）利用Dn,Dn?1进行递推 例25计算行列式
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xa1Dn?1??a1a1a1x?a2a2a2?ana2?an?? a3?ana3?x 解:
xa1a2?an?0xa1a2?anxa1a2?0a1xa2?an?0a1xa2?ana1xa2?0Dn?1???????????????a1a2a3?an?0a1a2a3?ana1a2a3?0a1a2a3?an?(x?an)a1a2a3?ana1a2a3?x?anxa1a2?1x?a1a1?a2a2?a3?1a1xa2?10x?a2a2?a3?1?an?????(x?an)Dn?an?????(x?an)Dna1a2a3?1000?1a1a2a3?1000?1n?an?(x?ai)?(x?an)Dni?1
而 D1?x
D2?a1(x?a1)?(x?a1)x?(x?a1)(x?a1)
D3?a2(x?a1)(x?a2)?(x?a2)D2?a2(x?a1)(x?a2)?(x?a2)(x?a1)(x?a1)?(x?a1?a2)(x?a
1)(x?a2)根据递推关系式可得
Dn?(x?a1?a2???an)(x?a1)(x?a2)?(x?an)
（2）利用 Dn,Dn?1,Dn?2进行递推 例26求行列式
210?00121?00D12?00n?0?????
000?21000?12
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解： 由于Dn?2Dn?1?Dn?2；则不妨设?，?是方程x?2x?1?0的根，则：
2????1
于是：
Dn?1n?1D1?(n?1)1n?2(D2?1D1)?(2?n)D1?(n?1)D2
其中：
D211?2?2,D2?12?4?1?3
所以：
Dn?(2?n)D1?(n?1)D2?4?2n?3n?n?1
即
210?00121?00原行列式=
012?00??????n?1
000?21000?122)归纳法
例27计算行列式
?????0?001??????00Dn?01????00(???)?????000?1??? 解：按一行展开得
??????001???D1????00-??0????n?（???）??????00?1???n-100?后一行列式按第一列展开，得递推公式
Dn?(???)Dn?1???Dn?2(n?3)(1)易于算出
?3D??32???D?4??4?3???? 代入递推公式得
1
8 0000??1???n?1
?4??4?3??3?5??5D4?(???)?????????????
于是自然猜想
??n?1??n?1Dn??? 证实这个结论，可以利用第二归纳法．此处从略 10.作辅助行列式
例28 设f1(x),f2(x),?,fn(x)为次数不超过n?2的函数，设?1,?2,?,?n为任意数，证明:
f1(?1)f1(?2)?f1(?n)f2(?1)f2(?2)?f2(?n)????0 fn(?1)fn(?2)?fn(?n) 解法一 设
f1(x)?ai1xn?2?an?3i2x???ain?2x?ain?1
那么，由
f1(?1)f1(?2)?f1(?n)f2(?1)f2(?2)?f2(?n)???
fn(?1)fn(?2)?fn(?n)
?n?21?n?22?n?2na11a12?a1n?2a1n?10?n?3?n?3?n?312n?a21a22?a2n?2a2n?10???????1?2?
nan1an2?ann?2ann?10111000马上得证．
解法二 刚才是作两个辅助行列式，现在作一个新行列式
f1(x)f1(?2)?f1(?n)D(x)?f2(x)f2(?2)?f2(?n)n??? f2(x)fn(?2)?fn(?n)由题设不难得知Dn是x的不超过n?2次的一个多项式，然而它有n?1个根?2,?3,??n
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所以：Dn(x)?0．特别有
f1(?1)f2(?1)Dn(?1)??fn(?1)证毕．
11.滚动消去法
f1(?2)?f2(?2)??fn(?2)?f1(?n)f2(?n)?0 ?fn(?n)
当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫作滚动消去法．一般利用此方法后，最好在化简后行列式的第一行或者列能产生较多的零，以便利用降级法来做．
例 29 计算行列式
12D?3?212?321??n?1?n?2?2121?1nn?1?13?n?1?1?1??1n?1?1 ??1
?n?3n?2
nn?1n?2? 解：从第二行开始每行减去上一行，有
12D?3?n212?321???n?1n?3?2nn?1?1?n?21?1?1??1??1?1n?2?1n?1n?2?n?2??1123?n?1200??220????111? 12.特征值法
123?n?1n100????00?10n?1n?20?(?1)(n?1)200?1n?2?2?2010??0000?设?1,?2,?,?n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式A??1?2??n．故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可计算出A的行列式．
例30若?1,?2,?,?n是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全部为零． 证明： 因为A??1?2??n，
则 A是可逆的 ?A?0??1?2??n?0??i?0(i?1,?,n) 13.微积分法
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