b1a1c1b2?形如：
a2?cn?2?b3cn?1an?1bn的n阶行列式，是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一
条次对角线上元素不全为零而其余元素全为零的行列式， 称为三对角线型行列式．这类行列式的计算可以直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推，或利用第二数学归纳法证明． 例9 计算n阶行列式
a?b1Dn?aba?b1aba?b???ab1a?b(a?b)
解 按第一行展开得
1Dn?(a?b)Dn?1?ab(?1)1?2aba?b1aba?b???1aba?b?(a?b)Dn?1?abDn?2
变形Dn?aDn?1?b(Dn?1?aDn?2),由于
D1?a?b,D2?(a?b)2?ab?a2?ab?b2，
从而利用上述递推公式得
nDn?aDn?1?b(Dn?1?aDn?2)?b2(Dn?2?aDn?3)???bn?2(D2?aD1)?b
故有
Dn?aDn?1?bn?a(aDn?2?bn?1)?bn?a2Dn?2?abn?1?bn???a 例10 证明
n?1D1?an?22b???abn?1?b?a?ab??abnnn?1n?1?bn
cosa1Dn?12cosa112cosa?1??12cosa112cosa?cosna
解 按第n行展开得
6
cosa1Dn?2cosaDn?1?(?1)n?(n?1)12cosa???112cosa011?2cosaDn?1?Dn?2
采用第二数学归纳法证明
n?1时，D1?cosa，结论成立．设n?k时，结论成立．则当n?k?1时，有
Dk?1?2cosaDk?Dk?1?2cosacoska?cos(k?1)a?cos(k?1)a,
故有归纳假设知Dn?cosna 4.3 Hessenberg型行列式 形如：
a0b1c1a1b2c2?cna2??bnan,anbn??a2b2a1c1,b1a0cn?c2c1a1a0b1,b1a0b2a1c1bnan??a2c2?cna2b2??anbncn?c2的行列式，即除一对角线及其相邻的一直线和最边上的一行或一列这三条直线外, 其余元素全为零的三线型行列式，称为Hessenberg型行列式．这一类行列式可以直接展开得到递推公式，也可利用行列式性质化简并降阶． 例11 计算n阶行列式
xDn?an 解 按第一列展开得
?1x?1??x
?1x?a1an?1?a2?1Dn?xDn?1?an(?1)n?1x?1??x于是
?xDn?1?an(?1)n?1(?1)n?1?xDn?1?an ?1Dn?xDn?1?an?(xDn?2?an?1)?an?x2Dn?2?an?1x?an???xD1?a2xn?1n?2??an?1x?an?xn?a1xn?1???an?1x?an
例12 计算n阶行列式
7
123?n?1nDn?1?12?2??n?2?(n?2)n?1?(n?1)
解 将第1,2,?,n?1列加到第n列，得
1223?2??n?1n(n?1)21?1?n?2?(n?2)n?10?n(n?1)(?1)1?n21?12???(n?2)n?1
4.4 两线形行列式
?(?1)1?n(n?1)!2
例13 计算行列式
a10Dn??0bn 解： 按第1列展开得
b1a2?000?b2??0000?
?bn?1?ana2?Dn?a100b2?0???bn(?1)n?10?bn?10?ana10?0bna10?0b2b1a2?000?00?b1a2?00?0b2?0?a1a2?an?(?1)n?1b1b2?bn
??0?bn?100?anb10?,0ana1b1,?0000?an0?00?00??an?1?bn?100?0??b1?a2?00bn0?,0ana10?0bn
结论对于形如：
0?b2??0??00??an?10a2?0?bn?1a2?bn?1an?1?8
等的“两线形的行列式”可以直接展开降阶． 4.5 利用范德蒙行列式计算
范德蒙行列式是一类特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式计算某些行列式时，要求行列式必须具有范德蒙行列式的特点，或类似于范德蒙行列式的特点，这样也可以将所给的行列式化为范德蒙行列式，然后再利用公式计算出结果．
例14 设f(x)?c0?c1x???cnxn.用线性方程组的理论证明，若是f(x)有n?1个不同的根，那么f(x)为零多项式.
证明：设a1,a2,?an?1为f(x)的根，且ai?aj(i?j). 则将根代入多项式得到如下线性方程组：
?c0?c1a1?c2a12???cna1n?0?2n?c0?c1a2?c2a2???cna2?0 ???c?ca?ca2???can?0nn?1?01n?12n?1以c0,c1,c2,?,cn为未知量，则线性方程组的系数矩阵为：
1a1a12?a1n2n1a2a2?a2??(ai?aj)?0
????1?j?i?n?12n1an?1an?a?1n?1因为齐次线性方程组的系数矩阵不为0，故系数矩阵只有零解，即：
c0?c1???cn?0
所以f(x)为零多项式. 5.降阶法
5.1 一般降阶法
根据行列式理论中的拉普拉斯定理, 行列式的计算可转化为k 阶子式及其相应的代数余子式的乘积之和.但此方法计算量偏大, 仅适用于行列式中元素为0 较多的情形. 同时, 涉及一些比较复杂的、元素含文字或未知量的行列式, 仅用此方法是不够的. 例15 计算四阶行列式
301?4零，即
2?2?7?1?30516032
解：观察行列式，可以选择第二行展开，但是第二行有两个非零元素，先用性质将?3也化为
9
301?42?2?7?1?30?563102301?42?8?7?100?(?1)?(?1)2?25?931?323?8?732
1?9?4?3019?1619?16 ?1?93??(?1)2?1??358
?39140?3914 5.2 利用公式降阶
公式1设A，B都是n阶方阵，则有
证明：由于
AB?A?B?A?B
BA?En??E?n两边去行列式，得
0??AB??En?????EEn?BA??n??0EnAB??EnBAEn0??A?B??En???00A?B?En0B? ?A?B?En?EnB
A?BAB?A?B?A?B
BA 例16 计算行列式
0abaa0abba0aaba0 解 利用公式1
0abaa0abb2a?b0???(b2?4a2)b2
ba0a2ab0?baba0公式2设A，B，C均为n阶方阵，则
AB2?(?1)n?C?BC0
证明：把拉普拉斯定理用于上式的后r行，在它的所有n阶子式中，除C外，其余至少包含一列零向量，从而值为零．而C的余子式为B，且C位于整个矩阵的第n?1,n?2,?,n?n行，
10