U1??R1r??R2??????R1??????E1?dr??E2?dr??E3?dr??E1?dr??E3?dr
R1R2rR2q?111?????? , (r?R1) 4π?0?rR1R2?综上可知:
?q?111???(r?R1)???4π?rRR0?12???q?U??(R1?r?R2)4π?0R2??q(r?R2)?4π?r?0?
10-4 半径为R1的导体球，带有电量q；球外有内、外半径分别为R2，R3的同心导体球壳，球壳带有电量Q。（1）求导体球和球壳的电势U1，U2；（2）若球壳接地，求U1，U2；（3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求U1，U2。 分析：由场强分布的对称性，利用高斯定理求出各区域场强分布；再由电势定义求电势。接地导体电势为零，电荷重新分布达到新的静电平衡，电势分布发生变化。
解:如图题10-4解图（a）所示,当导体达到静电平衡时,q分布在导体球的表面上.由于静电感应在外球壳的内表面上感应出?q电量.外表面上感应出?q电量，则球壳外表面上共带电荷(Q?q). (1)
由于场的对称性.由高斯定理求得各区域
E1?0 (r?R1)
E2?q4π?0r2的场强分布为：
(R1?r?R2)
题10-4解图（a）
E3?0 (R2?r?R3)
E4?Q?q (R3?r) 24π?0rE的方向均沿经向向外.
取无限远处电势为零，则由电势的定义可得： 内球体内任一场点p1(r?R1)的电势U1为
U1??R1r??R2??R3??+???E1?dr+?E2?dr+?E3?dr+?E4?dr R1R2R3 =?RR21q4π?0r2dr+?+?R3Q+q1?qqq+Q?dr=?+?? 4π?0r24π?0?R1R2R3?外球壳体内任一场点p2(R2?r?R3)的电势为:
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U2??R3r??+???+?q?Qq?Q?dr?E3?dr+?E4?dr?R34R3π?0r24π?0R3 （2）若外球壳接地.球壳外表面的电荷为零，等量异号电荷分布在球体表面和球壳内表面上,此时电场只分布在(R1?r?R2)的空间，如图题10-4解图（b）所示.由于外球壳U2?0则内球体内任一点P1(r?R1)的电势U1为:
U1??R1r??R2??R2??E1?dr+?E2?dr=?E2?dr R1R1??R2R1q?11?dr???? 24π?0r4π?0?R1R2?qU2?0
(3) 当内球接地时，内球的电势U1?0，
题10-4解图（b）
但无限远处的电势也为零，这就要求外球壳所带电量在内外表
面上重新分配，使球壳外的电场沿着经向指向无限远处，球壳内的电场经向指向球心处；因此，内球必然带负电荷。因为内球接地，随着它上面正电荷的减少，球壳内表面上的负电荷也相应减少；当内球上正电荷全部消失时，球壳内表面上的负电荷全部消失完；但就球壳而言，仍带有电量+Q。由于静电感应，在内球和大地这一导体，系统中便会感应出等量的负电荷-Q,此负电荷（-Q）的一部分（设为-q′）均匀分布在内球表面上。球壳内表面上将出现等量的正电荷(+q′)与之平衡.因此，在达到静电平衡后，内球带电荷-q′，球壳内表面带电量+q′，外表面上带电量（Q-q′），如图所示. 由高斯定理可知各区域的场强分布为:
E1?0 (r?R1)
E2??q?4π?0r2 (R1?r?R2)
E3?0 (R2?r?R3)
Q?q? (R3?r) E4?4π?0r2 球壳上任一场点P2(R2?r?R3)相对于可得:
题10-4解图（c）
无限远处和相对于接地内球的电势，应用电势定义分别计算，
U2??R3r????????Q?q?Q?q?E3?dr??E4?dr=?dr?R3R34π?r24π?0R30 U2??R2r?R1?R1?R1????q'?q'11E3?dr??E2?dr??E2?dr??[]dr?[?] R2R2R24??r24??RR0120联立上述两式，求得：
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q??R1R2QR1R2?R2R3?R1R3
将q?代入U2的表达式中可得:
U2=R2?R1Q ， (R2?r?R3) ?4π?0R1R2?R2R3?R1R3U1=0 ， (r?R1)
10-5 三个半径分别为R1，R2，R3（R1< R2< R3）的导体同心薄球壳，所带电量依次为q1，q2，q3.求：（1）各球壳的电势；（2）外球壳接地时，各球壳的电势。
分析：根据静电平衡条件先确定球的电荷分布情况，再根据电荷分布的球对称性，利用高斯定理求出电场强度分布，进而利用电势与电场强度的积分关系求出电势分布。对于电荷球对称分布的带电体，也可直接利用电势叠加原理求得电势分布。接地导体时电势为零，电荷重新分布达到新的静电平衡，新的电荷分布引起电场和电势分布发生变化。 解：(1) 如图题10-5解图(a)所示，半径为R1的导体球壳外表面上均匀的分布电量q1，由于静电感应，半径为R2的球壳内表面上感应出-q1的电量.外表面上感应出+q1的电量.因此，半径为R2的球壳外表面上的电量为q1+q2，同理，半径为R3的球壳内表面上感应出-(q1+q2)的电量.外表面上感应出+(q1+q2)的电量.所以R3的球壳外表面上的电量为(q1+q2+q3)。 (方法一) 由于场的分布具有对称性,可用高斯定理求得各区域的场强分别为
E1?0 ， (r?R1)
E2?q1， (R1?r?R2) 4π?0r2q1?q24π?0r2E3? ， (R2?r?R3) ， (R3?r)
题10-5解图(a)
E4?q1?q2?q34π?0r2E的方向均沿径向向外.
取无限远处为电势零点.
U1??R2R1??R3??????E2?dr??E3?dr??E4?dr R2R3??R2q14π?0r2R1dr??R3R2??q?q?qq1?q2dr??1223dr 2R34π?0r4π?0r?1?q1q2q3????? 4π?0?R1R2R3? 18
U2??R3R2??????R3q?q??q1?q2?q312?dr??dr E3?dr??E4?dr?2?R24π?r2R3R34π?0r01?q1?q2q3?q1?q2?11?q1?q2?q3?1???? ????????R3?4π?0?R2R3?4π?0?R3?4π?0?R2U3????R3????q?q?q1?q1?q2?q3?123E4?dr=?dr??? R34π?0r24π?0?R3?（方法二）可把各球壳上的电势视为由电量为q1,半径为R1；电量为q2，半径为R2；电量为q3，半径为R3的三个同心带电球壳分别在各点所共同产生的电势的叠加.
由于在半径为R1的球壳外表面上的P点由三个带电球壳电势的叠加.故有
1?q1q2q3?U1????? 4π?0?R1R2R3??q?同理: U2?1?q1?q2?3?
4π?0?R2R3?U3?1?q1?q2?q3??? 4π?0?R3?(2) 由于外球壳接地,球壳外表面的电荷为零，内表面的电量为-(q1+q2)
(方法一) 用高斯定理求得各区域的场强分别为：
E1?0 ， (r?R1)
E2?q1， (R1?r?R2) 4π?0r2q1?q24π?0r2E3? ， (R2?r?R3)
E4?0 ， (R3?r)
∴U3?0
U2??R3R2题10-5解图（b）
??R3q?qq?q?11?E3?dr??122dr?12??? R24π?r4π?0?R2R3?0U1???R2R1??R3??R2E2?dr+?E3?dr??R2R1R3q?qq112dr?dr 22?R24π?0r4π?0rq1?11?q1?q2?11?1?q1q2q1?q2??????????? ??4π?0?R1R2?4π?0?R2R3?4π?0?R1R2R3?（方法二）可把U1,视为带电量为q1，半径为R1；带电量为q2，半径为R2，带电量为-(q1+q2)，半径为R3的同心带电球面
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在半径为R1的球壳外表面上的电势的叠加.
1?q1q2q1?q2?∴U1????? 4π?0?R1R2R3?把U2视为带电量为q1+q2,半径为R2.带电量为-(q1+q2)，半径为R3的同心球面在半径为R2的球壳外表面上的电势的叠加 ∴U2?1?q1?q2q1?q2?q1?q2?11???????? 4π?0?R2R3?4π?0?R2R3?因为外球壳接地，所以：U3?0
10-6 一球形电容器，由两个同心的导体球壳所组成，内球壳半径为a，外球壳半径为b，求电容器的电容。
分析：设球壳内外表带电量?Q，由于电荷分布具有对称性，应用高斯定理确定场强的分布。由电势与场强的积分关系确定电容器两极板间电势差，再由电容定义式求电容。
解：设内球壳外表面带电量为+Q.则外球壳内表面带电量为-Q,两球面间的场强分布具有对称性，应用高斯定理，求得两球面间的场强大小为：
E?Q4π?0r2 ，(a?r?b)
据场强与电势差的关系：
Uab??ba??bE?dr??aQ4??0rdr?2Q?11???? 4??0?ab?于是有：
C?Q?UabQ?4π?0ab/(b?a) Q?11????4π?0?ab?10-7 一平行板电容器两极板的面积均为S，相距为d，其间还有一厚度为t,面积也为S的平行放置着的金属板，如题图10-7所示，略去边缘效应.(1) 求电容C.（2）金属板离两极板的远近对电容C有无影响？（3）在t=0和t=d时的C为多少？
分析： 由于金属板的两个表面在电容器中构成新电容器的两个板板，所以AC间的电容器可看作AB、BC两电容器的串联. 解：（1）CAB??0sdAB??0sd?t?x
?0sxCBC??0sdBC?
题10-7解图
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