dI在
P点处产生的磁感强度为：dB??0dI,方向垂直纸面向里。
2?x整个电流板上各窄条电流在P点处产生的dB方向相同，故
B??dB???0dI2πx??2aa??0Idxln2. ???2πx?a?2πa?0?I11-10 在半径R?1cm的“无限长”半圆柱形金属薄片中，有电流I?5A自下而上地通过，如题11-10图所示。试求圆柱轴线上一点P处的磁感应强度。
??分析：微分半圆柱形金属薄片，对微分电流dI应用无限长载流直导线产生的磁场公式求解dB。并将场强矢量dB分解后再
积分求解总的磁感应强度。注意利用场的对称性。
解：无限长载流半圆形金属薄片可看成由许多宽为dl?Rd?的无限长电流窄条所组成，每根导线上的电流在P点产生的磁场dB大小为dB??0dI2πR，方向按右手螺旋法则确定，如解11-10图所示。
题11-10图 解11-10图
dI?IIdl?Rd??R?R，dB??0dI2πR??0Id?2πR2.
由于各电流窄条产生的磁场方向各不相同，P点的总磁场应化矢量积分为标量积分，即
,
2?2R?2R??Id?By??dBy??dBcos???02cos??0. 02?RBx??dBx??dBsin???0??0Id?sin???0I4???????5B?Bx????6.37?10?5T,方向沿x正向. ??2?R??10?0I11-11 在半径为R及r的两圆周之间，有一总匝数为N的均匀密绕平面线圈（如题11-11图）通有电流I，求线圈中心（即两圆圆心）处的磁感应强度。
??分析：微分密绕平面线圈，计算出相应的微分电流dI，利用载流圆环在其圆心处产生的磁场公式求解dB。并将矢量dB再
积分求解总的磁感应强度。
解：由于载流螺旋线绕得很密，可以将它看成由许多同心的圆电流所组成，在沿径向r到R范围内，单位长度的线圈匝
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数为
n?N. R?r任取半径?，宽为d?的电流环，该电流环共有电流为
Ind??INd?. R?r该电流环在线圈中心产生的磁感强度大小
dB?为
?0?INd?Ind??0. 2?2(R?r)?
题11-11图
圆心处总磁感强度大小
B??dB??Rr?0INd??INR?0ln,
2(R?r)?2(R?r)r方向垂直纸面向外。
11-12 如题11-12图所示，在顶角为2?的圆锥台上密绕以线圈，共N匝，通以电流I，绕有线圈部分的上下底半径分别为r和R.求圆锥顶O处的磁感应强度的大小.
??分析：微分密绕线圈，计算出相应的微分电流dI，利用载流圆环在其轴线上产生的磁场公式求解dB。并将矢量dB再积分
求解总的磁感应强度。
解：只要将题11-11中的均匀密绕平面线圈沿通过中心的轴垂直上提，便与本题条件相一致，故解题思路也相似。 如解11-12图建立坐标，取半径为?，宽为d?的电流环的密绕线圈，其含有匝数为通电流为dI?NId?. R?rNd?， R?r因为x??cot?，dx?d?cot?。
半径为?的一小匝电流在O点产生的dB大小为
?0?2dI?0?2NIdB???d? 223/22223/22(?+x)2(?+?cot?)(R?r)?0NId??0NIsin3?d?????. 2csc3?(R?r)?2(R?r)?所有电流产生的磁场方向均沿x轴，所以其磁感强度大小为
B??0NIsin3?2(R?r)?Rd?r???0NIsin3?2(R?r)lnR. r 32
题11-12图 解11-12图
11-13 半径为R的木球上绕有细导线，所绕线圈很紧密，相邻的线圈彼此平行地靠着，以单层盖住半个球面共有N匝，如题11-13图所示。设导线中通有电流I，求在球心O处的磁感应强度。
分析：考虑线圈沿圆弧均匀分布，微分密绕线圈，计算出相应的微分电流dI，利用载流圆环在其轴线上产生的磁感应强
??度公式求解dB。并将矢量dB再积分求解总的磁感应强度。
解：建立如解11-13图所示坐标，x轴垂直线有线圈的匝数为
dN?N2N2Ndl?Rd??d?. ?R/2?R?圈平面，考虑线圈沿圆弧均匀分布，故在x?x?dx内含
线圈中通电流I时，中心O点处磁感强度为
dB??0Iy22(x?y)223/2dN.
因为 x?Rsin?,y?Rcos?, 对整个半球积分求得O点总磁感
B??dB???
题11-13图
解11-13图
强度为
?0Iy22(x?y)223/2dN
?0IN?R????cos2?d???0IN4R,方向沿x轴正向。
11-14 一个塑料圆盘，半径为R，带电量q均匀分布于表面，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为?.试证明 （1）在圆盘中心处的磁感应强度为B?（2）圆盘的磁偶极矩为pm?1q?R2. 4?0?q2?R;
分析：均匀带电圆盘以角速度?旋转时相当于圆电流，微分带电圆盘，计算出相应的微分电流dI，利用载流圆环在其圆心
??
处产生的磁场公式求解dB。并将矢量dB再积分求解总的磁感应强度。
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解：（1）在圆盘上取一个半径为r、宽为dr的细圆环，其所带电量为
dq??2?rdr?q2?rdr. ?R2圆盘转动后相当于圆电流
dI?ndq?q?qrdr?2?2?rdr?. 2??πR?R?若干个圆电流在圆心产生的磁感强度为
B??dB????0dI2r??R?0?qrdr2r??R2
0?0?q2?R
题11－15图
.（2）细圆环的磁矩为dpm?SdI??r转动圆盘的总磁矩为pm??0R2?2dr?2dr.
?RR1q?R2，方向沿轴向。 4?qr?qr3?qr3R2dr?11-15 已知一均匀磁场的磁感应强度B=2T，方向沿x轴正方向，如题11-15图所示。试求（1）通过图中abcd面的磁通量；（2）通过图中befc面的磁通量；（3）通过图中aefd面的磁通量。 分析：应用磁通量概念求解。
解：（1）取各面由内向外为法线正方向。则
?abcd?BSabcdcos???2?40?10?2?30?10?2Wb??0.24Wb,穿入.
（2）?befc?BSbefccos??0. ?（3）?aefd?BSaefdcos??BSabcd?0.24Wb,穿出.
11-16 如题11-16图所示，在长直导线AB内通有电流I，有一与之共面的等边三角形CDE，其高为h，平行于直导线的一边CE到直导线的距离为b。求穿过此三角形线圈的磁通量。
分析：由于磁场不均匀，将三角形面积进行微分，应用磁通量概念求出穿过面元的磁通量，然后利用积分求出穿过三角形线圈的磁通量。
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解：建立如解11-16图所示坐标，取距电流AB为x远处的宽为dx且与AB平行的狭条为面积元dS?2(b?h?x)tan30?dx.
题11-16图 解11-16图
则通过等边三角形的磁通量为
??b?h?Ib?h3?Ib?h?x3?0I?b?h?00???B?dS??2(b?h?x)tan30?dx???dx?(b?h)ln?h?. Sbb2?x3?x3??b??11-17 一根很长的铜导线，载有电流10A，在导线内部，通过中心线作一平面S，如题图11-17所示。试计算通过导线内1m长的S平面的磁通量。
分析：先求出磁场的分布，由于磁场沿径向不均匀，将平面S无穷分割，应用磁通量概念求出穿过面元的磁通量，再利用积分求总磁通量。
解：与铜导线轴线相距为r的P点处其磁感强度为
B??0Ir2?R2 （r?R，R为导线半径）。
为
题11-17图
于是通过单位长铜导线内平面S的磁通量
??R?IR???B?dS??B?1?dr?02?rdr S02?R0?I?0?1.0?10?7?10Wb=1.0?10?6Wb. 4?11-18 如题11-18图所示的空心柱形导体，柱的内外半径分别为a和b，导体内载有电流I，设电流I均匀分布在导体的横截面上。求证导体内部各点（a?r?b）的磁感应强度Br2?a2由下式给出：B?. 222?(b?a)r?0I分析：应用安培环路定理求解。注意环路中电流的计算，应该是先求出载流导体内电流密度，再求出穿过环路的电流。 证明：载流导体内电流密度为??I.
?(b2?a2)由对称性可知，取以轴为圆心，r为半径的圆周为积分回路L，则由安培环路定理
?
L??B?dl=?0?I,
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