可见，k为偶数，设k?2m，有n?4m，得证4|n．
例6 在数轴上给定两点1和2，在区间(1,2)内任取n个点，在此n?2个点中，每相邻两点连一线段，可得n?1条互不重叠的线段，证明在此n?1条线段中，以一个有理点和一个无理点为端点的线段恰有奇数条．
证明 将n?2个点按从小到大的顺序记为A1,A2,…,An?2，并在每一点赋予数值ai，使
a? 1, 当Ai为有理数点时，i????1, 当A与此同时，每条线段AiAi?1也可数字化为aiai?1（乘法）
i为无理数点时.a??1, 当Ai,Ai?1一为有理数点，另一为无理数时，iai?1??
? 1, 当Ai,Ai?1同为有理数点或无理数点时,记a?1iai?1??1的线段有k条，一方面(a1a2)(a2a3)(a3a4)…(an?1an?2)?(?1)k(?1)n?k?(?1)k
另一方面 (a21a2)(a2a3)(a3a4)…(an?1an?2) ?a1(a2a3…an?1)an?2?a1an?2??1， 得??1?k??1，故k为奇数．评析 用了数字化、奇偶分析的技巧． 二、约数与倍数
最大公约数与最小公倍数的求法． （1） 短除法．（2）分解质因数法．设
a?p?11p?22?p?kk,?i?0,i?1,2,?,k，b?p?11p?22?p?kk,?i?0,i?1,2,?,k．
记 ???????i?min??i,?i?,?i?max??i,?i?，则 ?a,b??p11p22?pkk，?a,b??p11p22?pkk．（3）辗转相除法 ?a,b???b,r???r1,r2?????rn?1,rn???rn,0??rn． 例7 （1）求?8381,1015?，?8381,1015?； （2）?144,180,108?，?144,180,108?．
解（1）方法1 分解质因数法．由
8381?172?29,1015?5?7?29,得
?8381,1015??29，?8381,1015??5?7?172?29?293335． 方法2 辗转相除法．
或 ?8381,1015???261,1015???261,232???29,232???29,0??29．
?8381,1015??8381?1015?8381,1015??8381?101529?8381?35?293335．
（2）方法1 短除法．由
2144 180 108272 90 54得
336 30 27312 10 9?144,180,108??22?32?36，
4 5 3
6
?144,180,108??24?33?5?2160．
方法2 分解质因数法．由
144?24?32, 180?2?3?5,，
22108?22?33,得 ?144,180,108??2?3?36，?144,180,108??2?3?5?2160．
2243例8 正整数n分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n的最小值为 ． 解 依题意，对最小的n，则n?1是2,3,4,5,6,7,8,9,10的公倍数n?1?2?3?5?7，得n?2519． 例9 有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，如何利用它们从一桶油中倒出6升油来？ 解 相当于求不定方程15x?27y?6的整数解．由?15,27??3知，存在整数u,v，使
3215u?27v?3，可得一个解u?2,v??1，从而方程 15?4?27???2??6．
即往小容器里倒2次油，每次倒满之后就向大容器里倒，大容器倒满时，小容器里剩有3升油；再重复一次，可得6升．
例10 对每一个n?2，求证存在n个互不相同的正整数a1,a2,?,an，使ai?ajai?aj，对任意的
i,j??1,2,?,n?,i?j成立．
证明 用数学归纳法．当n?2时，取a1?1,a2?2，命题显然成立．
假设n?k时，命题成立，即存在a1,a2,?,ak，使 ai?ajai?aj，对任意的i,j??1,2,?,k?,i?j成立． 现取b为a1,a2,?,ak及它们每两个数之差的最小公倍数，则k?1个数
??at?b??b?at?b??b,? b,a1?b,a2?b,?,ak?b满足 ?
a?b???aj?b??ai?b???aj?b?,???i 即命题对n?k?1时成立．由数学归纳法知命题对n?2成立．
例11 ?1959,IMO1?1?证明对任意正整数n，分数证明1 （反证法）假若
21n?4不可约．
14n?321n?4可约，则存在
14n?3d?1， ①
使 ?21n?4,14n?3??d，
?21n?4?dp, ②从而存在p,q,?p,q??1，使?
14n?3?dq, ③?消去n，?3??3??2??2，得 1?d?3q?2p?， ④
7
的 d?1． ⑤
由（1）、（5）矛盾，得d?1． 解题分析：（1）去掉反证法的假设与矛盾就是一个正面证法．
（2）式④是实质性的进展，表明 1?3?14n?3??2?21n?4?，
可见 ?21n?4,14n?3??1．由此获得2个解法． 证明2 设?21n?4,14n?3??d．存在p,q,?p,q??1，使
?21n?4?dp, ① ?14n?3?dq, ②?消去n，②×3-①×2，得
1?d?3q?2p? ③ 得 d?1．
证明3 由1?3?14n?3??2?21n?4? 得 ?21n?4,14n?3??1．
证明4 ?21n?4,14n?3? ??7n?1,14n?3? ④
??7n?1,1? ⑤ ?1． 解题分析：第④ 相当于 ①-②；第⑤ 相当于②-2（①-②）=②×3-①×2；所以③式与⑤式的效果是一样的．
例12 不存在这样的多项式 f?n??amn?am?1nmm?1???a1n?a0，
使得对任意的正整数n，f?n?都是素数．
证明 假设存在这样的多项式,对任意的正整数n，f?n?都是素数，则取正整数n?b，有素数p使 f?b??amb?am?1bmm?1???a1b?a0?p，
mm?1进而对任意的整数k,有 f?b?kp??am?b?kp??am?1?b?kp????a1?b?kp??a0
??ambm?am?1bm?1???a1b?a0??Mp（二项式定理展开）?P?1?M?，其中M为整数，这表明
f?b?kp?为合数．这一矛盾说明，不存在这样的多项式,对任意的正整数n，f?n?都是素数．
三、平方数
若a是整数，则a就叫做a的完全平方数，简称平方数． 1．平方数的简单性质
（1）平方数的个位数只有6个：0,1,4,5.6.9．
（2）平方数的末两位数只有22个：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，
8
296，09，29，49，69，89．
（3）?2n??0?mod4?,?2n?1??1?mod4?．（４）?2n?1??1?mod8?．
（6）凡是不能被3整除的数，平方后被3除余1．（7）在两个相邻整数的平方数之间，不能再有平方数． （8）非零平方数的约数有奇数个．
（9）直角三角形的三边均为整数时，我们把满足a?b?c的整数?a,b,c?叫做勾股数．勾股数的公式为
222222?a?m2?n2,? ?b?2mn,
?c?m2?n2,?其中m,n为正整数，?m,n??1且m,n一奇一偶．这个公式可给出全部素勾股数．
2．平方数的证明方法
（1）反证法．（2）恒等变形法．（3）分解法．设a为平方数，且a?bc，?b,c??1，则b,c均为平方数． （4）约数法．证明该数有奇数个约数． 3．非平方数的判别方法
2（1）若n?x??n?1?，则x不是平方数．（2）约数有偶数个的数不是平方数．
2（3）个位数为2，3，7，8的数不是平方数．（4）同余法：满足下式的数n都不是平方数．
n?2?mod3?， n?2或3?mod4?， n?2或3?mod5?， n?2或3或5或6或7?mod8?，n?2或3或7或8?mod10?．
（5）末两位数不是：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．如
个位数与十位数都是都是奇数的数， 个位数是6、而十位数是偶数的数．
例13 有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，?，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？
讲解 （1）直接统计100次拉线记录，会眼花缭乱．
（2）拉电灯的开关有什么规律：电灯编号包含的正约数（学生）才能拉、不是正约数（学生）不能拉，有几个正约数就被拉几次．
（3）灯被拉的次数与亮不亮（开、关）有什么关系：
0 关 1 开 2 关 3 开 4 关 5 开 6 关 7 开 8 关 9 开
灯被拉奇数次的亮！
（4）哪些数有奇数个约数：平方数． （5）1～100中有哪些平方数：共10个：
1，4，9，16，25，36，49，64，81，100．
答案：编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100共10个灯还亮．
9
例14 已知直角三角形的两条直角边分别为正整数a,b，斜边为正整数c，若a为素数，求证2?a?b?1?为平方数．证明 由勾股定理c2?a2?b2，有 ?c?b??c?b??a2，
但a为素数，必有 ??c?b?a2,解得 ?c?b?1,b?12?a2?1?，
从而 2?a?b?1??2a??a2?1??2??a?1?2，为平方数．
例15 求证，任意3个连续正整数的积不是平方数．
证明 设存在3个连续正整数n?1,n,n?1（n?1）的积为平方数，即存在整数m，使 ?n?1?n?n?1??m2，即 ?n2?1?n?m2，
?n2?1?a2但?n2?1,n??1，故n2?1,n均为平方数，有?,?n?b2,
??m?ab,得 1?n2?a2?n2??n?1?2?2n?1?1，（注意n?1）
这一矛盾说明，3个连续正整数的积不是平方数．
四．整除
整除的判别方法主要有7大类．
1．定义法．证ba?a?bq，有三种方式．
（1）假设a?qb?r，然后证明r?0．（定理4）（2）具体找出q，满足a?bq．（3）论证q的存在． 例18 任意一个正整数m与它的十进制表示中的所有数码之差能被9整除． 证明 设m?ann?10?an?1?10n?1???a1?10?a0，其中0?ai?9,an?0，则
m??an?an?1???a1?a0? ?an?10n?1??an?1?10n?1?1????a1?10?1?
?9???a11??1??a?n?n?1?11??1???a2?11?a1??,n个1n?1个1按定义 9m??an?an?1???a1?a0?． 2．数的整除判别法．
（1）任何整数都能被1整除．（2）如果一个整数的末位能被2或５整除，那么这个数就能被2或５整除． （3）如果一个整数的末两位能被４或25整除，那么这个数就能被4或25整除． （4）如果一个整数的末三位能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除． （5）如果一个整数各数位上的数字之和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除．
证明 由10?1?mod3?,10?1?mod9?，有
an?10n?an?1?10n?1???a1?10?a0?an?an?1???a1?a0?mod3?，
10