例30 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，?直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．（1988，高中联赛）
解法1 设甲、乙两队的队员按出场顺序分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7和B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7．如果甲方获胜，设Ai获胜的场数是xi，则0?xi?7,1?i?7而且
x1?x2???x7?7 ， ①
容易证明以下两点：在甲方获胜时
（i）不同的比赛过程对应着方程①的不同非负整数解；
（ii）方程①的不同非负整数解对应着不同的比赛过程，例如，解（2，0，0，1，3，1，0）对应的比赛过程为：
A1胜B1和B2；B3胜A1、和A3；A4胜B3后负于B4；A5胜B4、B5和B6但负于B7；最后A6胜B7结束比赛．下
面求方程①的非负整数解个数，设yi?xi?1，问题等价于方程
y1?y2?y3?y4?y5?y6?y7?14，
正整数解的个数，将上式写成
1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?1?14，
从13个加号取6个的方法数C13种．得甲方获胜的不同的比赛过程有C13种．
同理，乙方获胜的不同的比赛过程也有C13种，合计2C13?3432种比赛过程
例31（1989，高中）如果从数1，2，?，14中按由小到大的顺序取出a1,a2,a3，使同时满足 a2?a1?3, a3?a2?3，那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？
7666 a1?1?0, 解 由已知得
a2?a1?3?0 a3?a2?3?0, 14?a3?0,4项均为非负数，相加得?a1?1???a2?a1?3???a3?a2?3??? 14?a3??7，
于是a1,a2,a3的取法数就是不定方程 x1?x2?x3?x4?7
的非负整数解的个数，作一一对应y1?xi?1，问题又等价于不定方 y1?y2?y3?y4?11 的正整数解．由 1?1???1?11，得C10个解，即符合要求的不同取法有C10种．
七．数论函数
主要是?x?高斯函数，??n?欧拉函数．
例32 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增．．6．选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y??x?（?x?表示不大于x的最大整数）可以表示为
33 16
(A)y???x??x?3??x?4??x?5? (B) (C) (D) y?y?y????????10101010????????（2010年全国高考数学陕西卷理科第10题）
解法1 选（B）．（求解对照）．规则是“六舍七入”，故加3即可进1． 选y???x?3?． ??10?解法2 选（B）．（特值否定）．取x?56，按规定应选5人，可否定(C)、(D)；再取x?57，按规定应选6
人，可否定(A)．
注：主要错误选(C) ，误为“五舍六入”．
例33 用?x?表示不大于x的最大整数，求
??1??2??2004????????366??366???366????????． ?366??????讲解 题目的内层有2004个高斯记号，外层1个高斯记号．关键是弄清?x?的含义，进而弄清加法谁与谁加、除法谁与谁除：
（1）分子是那些数相加，求出和来；
由366?5?1830?2004?2196?366?6，知分子是0～5的整数相加，弄清加数各有几个 1～365 366～731 732～1097 1098～1463 1464～1829 1830～2004 0 1 2 3 4 5 365个 366个 366个 366个 366个 175个 （2）除法谁除以366，求出商的整数部分．
?0?365?366?1?2?3?4??5?175?原式???
366???10?366?875????366??143????10?2? ?366???12. 命题背景2004年有12个月、366天．
例34 50!的标准分解式中2的指数．
解 50!?2132537411513617719823929?31?37?41?43?47 2的指数为
17
??????????50??50??50??50??50???2???3???4???5??25?12?6?3?1?47． ??2???2??2??2??2? 图示（5条横线，25个偶数中2的方次，按横线求和）
八、综合练习
例35 整数勾股形中，证明
（1）必有一条直角边长是3的倍数；（2）必有一条直角边长是4的倍数； （3）必有一条边长是5的倍数；（4）三角形的面积是6的倍数．
证明 当整数勾股形的三边有公约数时，可以先约去，使三边长x,y,z互素，且满足
x2?y2?z2.
这时，若x,y两个均为偶数，则z也为偶数，与x,y,z互素矛盾；若x,y两个均为奇数，有
x?1?mod4?,y?1?mod4?，得 z?x?y?2?mod4?，
22222这与平方数模4只能取0，1矛盾.所以，x,y中有且只有一个为偶数，不妨设x为偶数.
（1）设x,y中无一为3的倍数，则
x?1?mod3?,y?1?mod3?，得 z?x?y?2?mod3?，
22222这与平方数模3只能取0，1矛盾，故x,y中有一个为3的倍数. （2）由x为偶数.，必有y,z均为奇数，记
x?2m,y?2p?1,z?2q?1有 4m2?x2?z2?y2??2q?1???2p?1??4?q2?q?p2?p?
22则 m?q?q?1??p?p?1?右边是两个偶数的差，必为偶数，从而x为4的倍数.
2（3）若x,y中有5的倍数，命题已成立. 若x,y均不是5的倍数，则若x,y只能是形如5k?1或5k?2的正整数.若x,y均为5k?1型，则z?x?y?1?1?2?mod5?
222这与平方数模5只能取0，1，4矛盾若x,y均为5k?2型，则z?x?y?4?4?3?mod5?
222这与平方数模5只能取0，1，4矛盾.所以，x,y只能分别取5k?1与5k?2型，有 z?x?y?4?1?0?mod5?得5z，但5是素数，得5z.
2222（4）由上证（1）、（2）及?3,4??1知，xy是12的倍数，则
1xy是6的倍数，得三角形的面积是6的倍数． 2例36 已知?ABC内有n个点，连同A,B,C共有n?3个点，以这些点为顶点，把?ABC分割为若干个互不重叠的小三角形，现把A,B,C分别染上红色、蓝色、黄色，而其余n个点，每点任意染上红、蓝、黄三色之一，证明三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．（斯潘纳定理）
证明1 给这些小三角形的边赋值：当边的两端点同色时，记为0；当边的两端点异色时，记为1；
再用三边之和给小三角形赋值：当三角形的三顶点同色时，和值为0，记这样的小三角形有a个；当三角形的三顶点中仅有两点同色时，和值为2，记这样的小三角形有b个；当三角形的三顶点两两异色时，和值为3，记这样的小三角形有c个.下面用两种方法计算所有三角形赋值的总和S，一方面
S?0?a?2?b?3?c?2b?3c. ①
另方面，AB,BC,CA的赋值均为1，和为奇数；而?ABC内的每一条连线，在上述S的计算中都被计算了两
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次，和为偶数；这两者之和得S为奇数，记为
S?2k?1 ② 由①，②得 2k?1?2可见c为奇数，即三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．（ b?3c
证明：n个连续整数的乘积一定能被n!整除
设a为任一整数，则式： (a+1)(a+2)...(a+n) =(a+n)!/a! =n!*[(a+n)!/(a!n!)]
而式中[(a+n)!/(a!n!)]恰为C(a+n,a),也即是从a+n中取出a的组合数，当然为整数。 所以(a+1)(a+2)...(a+n)一定能被n!整除
同余式与不定方程
例：求使2+1能被3整除的一切自然数n. 解∵
∴
n
n
则2+1
n
n
∴当n为奇数时，2+1能被3整除；当n为偶数时，2+1不能被3整除. 例2 求2最后两位数码. 解 考虑用100除2所得的余数.∵∴∴
∴
∴2的最后两位数字为88.
例3 求证3证明 ∵∴
2．不定方程
不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解. (1) 不定方程解的判定
∴
1980
999999
999
又
+4
1981
能被5整除.
∴
19
如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解. 例4 证明方程2x-5y=7无整数解.
2
2
证明 ∵2x=5y+7，显然y为奇数.① 若x为偶数，则
22
∴
∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.
② 若x为奇数，则但5y+7
2
∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.
说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法. 例5 不存在整数x,y使方程
①证明 如果有整数x，y使方程①成立，
则=知（2x+3y）+5能被17整除.
2
设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）
2
+5=（17n）+34na+（a+5）=a+5（mod17），而a+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，
2
2222
3，1，即在任何情况下（2x+3y）+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.
例7 满足方程x+y=x的正整数对（x，y）的个数是（ ）. （A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对
解由x+y=x得y=x（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k(k为自然
2
2
3
2
2
2
2
2
3
数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多
个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.
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