an?10n?an?1?10n?1???a1?10?a0?an?an?1???a1?a0?mod9? （6）如果一个整数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数的差能被7或11或13整除，那么这个数就能被7或11或13整除． 证明 由m?anan?1?a2a1a0 ?anan?1?a3?1001??anan?1?a3?a2a1a0?， 知 1001anan?1?a3a2a1a0?1001?anan?1?a3??a2a1a0?， 又由1001?7?11?13，而7,11,13均为素数知，m能被7或11或13整除． （7）如果一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除． 证明 由10??1?mod11?，有ann?10?an?1?10n?1???a1?10?a0?ann?1n??1??an?1??1????a1??1??a0?mod11?. 3．分解法．主要用乘法公式．如
an?bn??a?b??an?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1?．
a2n?1?b2n?1??a?b??a2n?2?a2n?3b?a2n?4b2???ab2n?3?b2n?2?． a2n?b2n??a?b??a2n?1?a2n?2b?a2n?3b2???ab2n?2?b2n?1?．
例19 试证?1?2???9??15?25???95?．
证明 改证45?15?25???95?．设S?15?25???95，则
S??15?85???25?75???35?65???45?55??95 ??1?8?m1??2?7?m2??3?6?m3??4?5?m4?95
?9?m1?m2?m3?m4?94?,得9S．又 S??15?95???25?85???35?75???45?65??55
??1?9?m1??2?8?m2??3?7?m3??4?6?m54?5?5?2m得5S．
1?2m2?2m3?2m44?5?,但?9,5??1，得45S，即?1?2???9??15?25???95?．
例20 ?1979,IMO21?1?设p与q为正整数，满足
p1111q?1?2?3???1318?1319，求证p可被1979整除（1979p） 证明
pq?1?11112?3???1318?13 19 ???1?12?13???11318?1??1319???2??111??2?4???1318??
11
11??111??11??1???????1????????
231318131923659????1111 ?????66066113181319660?1319661?1318989?990 ?????660?1319661?1318989?990?M660?661???1319
659!M?1979?1319!?1979? 得1979整除1319!p，但1979为素数，?1979,1319!??1，得p可被1979整除．
例20-1 2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子20090909的数为吉祥数，请证明最简分数子m是吉祥数．
证明：由
m11的分?1????n220090908m11 ?1????n2200909081111?1??1??????????????????120090908??220090907??1004545410045455?200909092009090920090909 ?????1?200909082?2009090710045454?10045455p?20090909?,1?2???20090907?20090908其中p为正整数，有 20090909?n?p?1?2???20090907?20090908?m，
这表明，20090909整除1?2???200909?072009m?0，9但20090909为素数，不能整除
，所以1?2???200909?07200920090909整除m，得m是吉祥数．
4． 余数分类法．
例21 试证3n?n?1??2n?1?．
证明1 任何整数n被3除其余数分为3类 n?3k,n?3k?1,n?3k?2,k?Z，
（1）n?3k时，有 n?n?1??2n?1??3??k?3k?1??6k?1???,
有3n?n?1??2n?1?．（2）n?3k?1时，有n?n?1??2n?1??3???3k?1??3k?2??2k?1???, 有3n?n?1??2n?1?．（3）n?3k?2n?n?1??2n?1??3???3k?2??k?1??6k?5???, 有3n?n?1??2n?1?．综上得，3n?n?1??2n?1?． 证明2 n?n?1??2n?1??
2n?2n?2??2n?1?4，得 32n?2n?2??2n?1?，又?3,4??1，得
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3n?n?1??2n?1?．
5．数学归纳法．6．反证法．7．构造法． 例22 k个连续整数中必有一个能被k整除． 证明 设k个连续整数为a,a?1,a?2,?,a?k?1，
若这k个数被k除没有一个余数为0，则这k个数的余数只能取1,2,?,k?1，共k?1种情况，必存在两个数 a?i,a?j,0?i?j?k ，使 a?i?kq1?r,a?j?kq2?r, 其中q1?q2，相减 i?j?k?q1?q2?，有 i?j?kq1?q2?k， 即 i?j?k与i?j?k矛盾．故k个连续整数中必有一个能被k整除．
也可以由i?j?k?q1?q2?得 0?i?j?k?q1?q2??k，推出0?q1?q2?1，与q1?q2为整数矛盾．
例23 k个连续整数之积必能被k!整除．
证明 设k个连续整数为n,n?1,n?2,?,n?k?1， （1）若这k个连续整数为正整数，则
n?n?1??n?2???n?k?1?k!?n!k!?n?k?!??C?
kn只须证明，对任何一个素数p，分子中所含p的方次不低于分母中所含p的方次，由高斯函数的性质
?x?y???x???y?，有
kn?k??n?k???n??k??n?k??????ps???ps???ps???ps? ????????得
C为整数（证实了组合数的实际意义）
（2）若这k个连续整数中有0，则连乘积为0，必能被k!整除．
（3）若这k个连续整数为负整数，则
n?n?1??n?2???n?k?1? ???1?kk!??n???n?1???n?2????n?k?1?k!
???1?由（1）知
kCk?n,n?n?1??n?2???n?k?1?k!为整数．
Ck?n为整数，故
例24 有男孩、女孩共n个围坐在一个圆周上（n?3），若顺序相邻的3人中恰有一个男孩的有a组，顺序相邻的3人中恰有一个女孩的有b组，求证3a?b．
证明 现将小孩记作ai(i?1,2,…,n)，且数字化
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?1, ai表示男孩时ai??
?1, a表示女孩时i?则“3人组”数值化为
Ai?ai?ai?1?ai?2?3, ai,ai?1,ai?2均为男孩???3, ai,ai?1,ai?2均为女孩 ???1, ai,ai?1,ai?2恰有一个女孩??1, a,a,a恰有一个男孩ii?1i?2?其中an?j?aj．又设取值为3的Ai有p个，取值为?3的Ai有q个，依题意，取值为1的Ai有b个，取值为?1的
a1?a2?…?an)?a(1?a??)a(?2a?a?4…)?an?(a?a1 )Ai有a个，得 3(2a33 ?3p?(?3)q?(?1)a?b?3(p?q)?(b?a)， 可见3a?b．
例25 （1956，中国北京）证明n?3321n?n?1对任何正整数n都是整数，并且用3除时余2． 22n?3n?1?321分析 只需说明n?n?为整数，但不便说明“用3除时余2”，应说明
222n?n?1??2n?1?2n?2n?2??2n?1?313213是3的倍数．作变形 n?n?n?1?n3?n2?n??1,?3,8??1 ，
222228命题可证．
n?n?1??2n?1?321?1， ① 证明 已知即n?n?n?1?2223因为相邻2个整数n,?n?1?必有偶数，所以n?3321n?n?1为整数．又①可变为 222n?2n?2??2n?1?31n3?n2?n?1??1，
228因为相邻3个整数2n,?2n?2?,?2n?1?必有3的倍数，故2n?2n?2??2n?1?能被3整除；又?3,8??1，所
以
2n?2n?2??2n?1?8能被3整除；得n?3321n?n?1用3除时余2． 22五、同余
根据定义，同余问题可以转化为整除问题来解决；同时，同余本身有很多性质，可以直接用来解题．
例26 正方体的顶点标上?1或?1，面上标上一个数，它等于这个面四个顶点处的数的乘积，求证，这样得出的14个数之和不能为0．
证明 记14个数的和为S，易知，这14个数不是?1就是?1，若八个顶点都标上?1，则S?14，命题成立．
对于顶点有?1的情况，我们改变?1为?1，则和S中有4的数a,b,c,d改变了符号，用S表示改变后的和，由
14
/ a?b?c?d?0?mod2?知 S?S?2a?b?c?d?0?mod4?，
/这表明，改变一个?1，和S关于模4的余数不变，重复进行，直到把所有的?1都改变为?1，则
S?S/?1?1???1?14?2?mod4?，所以，S?0．
例27 设多项式f?x??a0x?a1xnn?1???an?1x?an的系数都是整数，并且有一个奇数?及一个偶数?使
得f???及f???都是奇数，求证方程f?x??0没有整数根．
证明 由已知有f????1?mod2??a0?a1?a2???an?1?mod2?， ①
f????1?mod2??an?1?mod2?， ②
若方程f?x??0存在整数根x0，即f?x0??0．当x0为奇数时，有
f?x0??0?mod2??a0?a1?a2???an?0?mod2?，
与①矛盾．有x0为偶数时，有f?x0??0?mod2??an?0?mod2?，与②矛盾．所以方程f?x??0没有整数根． 六、不定方程
未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程，称为不定方程．求不定方程的整数解，叫做解不定方程． 解不定方程通常要解决3个问题，方程是否有解？有解时，有几个解，解数是有限还是无穷？求出全部解．
例28 解方程7x?19y?213． 解法1 由?7,19??1知方程有整数解． 观察特解，列表
y x 1 2 3 ? ?x0?25,得一个特解?从而通解为
y?2,?019725 7?x?25?19t, ?y?2?7t.?方法总结：第1步，验证?a,b?c，经常是?a,b??1．第2步，求特解（观察、列举、辗转相除等）． 第3步，代入公式．
方法总结：ax?by?c?ax?c?modb?或by?c?moda?． 例29 求方程x?2xy?2009的整数解． 解 由2009的分解式，有
22 x?x?2y??1?2009?7?41，
232?x2?1,?x?1,?x??1,??有 ? ?y?1004,y?1005,x?2y?2009,????x2?72,?x?7,?x??7,? ????x?2y?41,?y?17,?y?24.
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