例1．求不定方程
解：先求
的整数解。
的一组特解，为此对37，107运用辗转相除法：
，
，
将上述过程回填，得：
由此可知，是方程的一组特解，于是，是方
程的一组特解，因此原方程的一 切整数解为：
例2．求不定方程
的所有正整数解。
。
解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项，并移项得：
因为是整数，故也一定是整数，于是有，再用5去除比式的两边，得
，令
经观察得
为整数，由此得。
，所
是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特解：
以原方程的一切整数解为：
例3．求不定方程
。
的正整数解。
的取值范围，因为
的最小值为1，所以
解：显然此方程有整数解。先确定系数最大的未知数
。当时，原方程变形为，即，由上式知是偶数且
故方程组有5组正整数解，分别为，，，，；
当时，原方程变形为，即，故方程有3组正整数解，分别为：，，
；当时，原方程变形为，即，故方程有2组正整数解，分别为：，
；
36
当时，原方程变形为，即
8 4 1
10 1 1
，故方程只有一组正整数解，为2 9 2
4 6 2
6 3 2
2 5 3
4 2 3
2 1 4
。
故原方程有11组正整数解（如下表）：
2 4 6
13 10 7
1 1 1
例5．在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上的整点的个数为多少个？ 解：设显然但当
时，为圆
上任一整点，则其方程为：
为方程的4组解。
（因为199是质数），此时，。因为
这与199为
，可设
型的质数矛盾！ 。
是一组勾股数，故199可表示为
，
；
两个正整数的平方和，即
则
因而圆O上只有四个整点于是
。
例8．求证：边长为整数的直角三角形的面积不可能是完全平方数。
证明：假设结论不成立，在所有的面积为平方数勾股三角形中选取一个面积最小的，设其边长为
，
则是平方数，则必有
是偶数）
。因为，故存在整数。
中一奇一偶，，使
得（不妨设
由于即因为
是奇数，易知
是完全平方数，而知
，所以，于是
得
与
即
两两互素，故它们是平方数，
，另一个是
，而
；
中有一个是
另一方面，
所以，以
为边的三角形都是直角三角形，其面积等于是平方数，
37
但是
，于是构造出了一个面积更小的勾股三角形，矛盾！
38
39
例3．设k证明：n?1是一个奇数，证明L对于任意正整数n，数1k?2k???nk不能被n?2整除。
?1时，结论显然成立。设n?2，记所说的和为A，则：
2A?2?(2k?nk)?(3k?(n?1)k)???(nk?2k)。
由k是正奇数，从而结于每一个i?2，数ik?(n?2?i)k被i?(n?2?i)?n?2整除，故2A被n?2除得余数为2，从而
。 2）
A不可能被n?2整除（注意n?2?例4．设m,n是正整数，m?mn（2?1）（2?1）。 2，证明：
证明：首先，当n?m时，易知结论成立。事实上，m?n时，结论平凡；当n?m时，结果可由2出来（注意m?。 2）
n?1?2m?1?1?2m?1推
最后，n?m的情形可化为上述特殊情形：由带余除法n而由若n是正整数，则xn?mp?r,0?r?m而q?0，由于2n?1?(2mq?1)2r?2r?1，从
?yn?(x?y)(xn?1?xn?2y???xyn?2?yn?1)知(2m?1)|(2mq?1)；而0?r?m，故由上面证明了的结论知
mn(2m?1) (2r?1)（注意r?0时结论平凡），从而当n?m时，也有（2?1）（2?1）。这就证明了本题的结论。
例5．设正整数a,b,c,d满足ab?cd，证明：a?b?c?d不是质（素）数。 证法一：由ab?cd，可设约分数
admama??其中(m,n)?1。由?意味着有理数cbncnc ①
②
的分子、分母约去了某个正整数u后得既
mn，因此，a?mu,c?nu
同理，存在正整数v使得b?nv,d?mv
因此，a?b?c?d＝(m?n)(u?v)是两个大于1的整数之积，从而不是素数。
注：若正整数a,b,c,d适合ab?cd，则a,b,c,d可分解为①及②的形式，这一结果在某些问题的解决中很有作用。 证法二：由ab?cd，得b?cda，因此a?b?c?d?a?cd(a?c)(a?d)，因为a?b?c?d是整数，故?c?d?aa(a?c)(a?d)也是整数。
a若它是一个素数，设为可见
p，则由(a?c)(a?d)?ap
③
p整除(a?c)(a?d)，从而素数p整除a?c或a?d。不妨设p｜a?c，则a?c?p，结合③推出a?d?a，而
。 ?1）
这是不可能的（因为d例6．求出有序整数对（
m,n）的个数，其中
1?m?99，
1?n?99，
(m?n)2?3m?n是完全平方数。
（1999年美国数学邀请赛试题） 解：由于1?m?99，1?n?99可得：
(m?n)2?3m?n＜(m?n)2?4(m?n)?4?(m?n?2)2。
又(m?n)
2?(m?n)2?3m?n，于是(m?n)2?(m?n)2?3m?n?(m?n?2)2
40