计算水力学课程设计
2.3 定解条件
初始条件和边界条件是确定微分方程解的必不可少的条件，它们合称为定解条件。定解条件给少了，就无法定解，即所谓欠定；给多了可能产生矛盾，即所谓过定；只有给出适当个数的定解条件才能求解，即所谓适定。
由于水流分为缓流和急流，因而其定解条件也不相同，下面分别进行讨论（设u≥0）
（1）缓流
uuF??< 1.0 ，故域内一点处的条
由于是缓流，因而水流的佛汝德数 rgAcB特征线分别指向上、下游。如图2-3所示：故其定解条件为：
初始条件：在AB上： Q（x,0）=已知， Z(x,0)= 已知 上边界条件：在AC上：Q(t,0) =已知 或 Z(t,0)= 已知
下边界条件：在BD上：Q(t,L)= 已知 或 Z(t,L)= 已知 或 F(Z,Q)|x=L=0(水位流量关系已知)
在CD上无须给出边界条件。 C t D C t D C T T
x A L B A L B A L B x A L B
图2-3 缓流情况下边界处特征线方向示意图 图2-4急流情况下边界处特征线方向示意图
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（2）急流
由于是急流，因而水流的佛汝德数
Fr?ugAB?uc≥1.0，故域内一点处的
两条特征线均指向下游。如图2-4所示：故其定解条件为：
初始条件：在边AB上，两条特征线均指向计算区域内，故在此边上必须出两个条件： Q(x,0)=已知， Z(x,0)= 已知
上边界条件：在边AC上，两条特征线均指向计算区域内，故： Q(t,0) =已知 或 Z(t,0)= 已知
在BD、CD上没有特征线指向计算域内，故无须给出任何边界条件。 由于设计所研究的区域为平原河网地区，水流一般为缓流，所以在计算中采用缓流的定解条件。
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第三章 数值方法
3.1 差分格式
采用Preissmann隐式差分格式： f?f ?xM1n?1?(fjn??)?1?fj2?(1??)n(fj?1?fjn) 2fjn?1?fjn?x)M??(1n?1fjn??1?fj?x)?(1??)(
?f
?tM?1n?1fjn???fjn?1?fjn1?fj2?t? θ——加权系数 0≤θ≤1
简化四点线性隐格式： f(fjn?1?fjn)2M
fjn?1?fjn?x?f
?xM??(1n?1fjn??1?fj?x)?(1??)()
?f?tM?1n?1fjn???fjn?1?fjn1?fj2?t
用此离散圣维南方程，从而得到差分方程
3.2 差分方程
?Z?QB??q 连续方程： ?t?x?1nn?1Zn?Zn?Zj?1?Zj?1?Zjj? ?t 2?t?1n?1nnQn?QQ?Q?Qj?1jj?1j??()?(1??)() ?t ?xj?xj将以上关系式代入连续方程得：
Bnj?12?1n?1Qnj?1?QjnQnj?1?Qj2?t?1(Znj?1?Znj?1??1Znj?Znj)??(?xj)?(1??)(?xj)?qj?12
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?1n?1n?1n?1 化简得：Qn?Q?CZ?CZ?Dj j?1jjj?1jjBn 其中： Cj?qDj?j?1?xj2j?1?xj22?t?
??(1??)?nnn(Qnj?1?Qj)?Cj(Zj?1?Zj)
QQ?Q??Q2?Z?()?gA?g2?0 动量方程：?x?xA ?xCAR
n?1nnn?QQj?1?Qj?1?Qj?Qj??t2?t
?1n?1nZnZn?Zj?1?Zjj?1?Zj??()?(1??)()?x?xj?xjn?1nn?1nnnn?[(?u)n??Q2?j?1Qj?1?(?u)jQj]?(1??)[(?u)j?1Qj?1?(?u)jQj()?(?uQ)??xA?x?xj
gQQC2AR?(gu2C2Rn?1)njQj?(gu2C2Rn?1)nj?1Qj?1
n?1n?1n?1n?1EQ?GQ?FZ?FZ??j jjjj?1jj?1jj将以上关系式代入动量方程得：
其中： Ej?Gj??xj2??t?xj2??t?(?u)nj?(gugu2?C2R)nj?xj
?(?u)nj?1?(2?CR2)nj?1?xj
Fj?(gA)n1
j?2?j??xj2??tn(Qnj?1?Qj)?1???n[(?uQ)nj?1?(?uQ)j]?1???(gA)n1j?2n(Znj?1?Zj)
忽略上标n+1得到任一河段差分方程：Qj?1?Qj?CjZj?1?CjZj?Dj
EjQj?GjQj?1?FjZj?1?FjZj??j
其中Cj, Dj, Ej, Fj, Gj,Φj均由初值计算。
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3.3 计算方法
对于一条具有L2-L1个河段，有2*（L2-L1+1）个未知量，可以列出2*（L2-L1）个方程，加上河道两端的边界条件，形成封闭的代数方程组。
Qj?1?Qj?CjZj?1?CjZj?Dj
EjQj?GjQj?1?FjZj?1?FjZj??j 上边界条件：QL1?fL1(ZL1) 下边界条件：QL2?fL2(ZL2)
这样共有2*（L2-L1+1）个方程，解2*（L2-L1+1）个未知量，可得唯一解。 3.3.1 上边界水位已知：
对于水位已知的边界条件，可设如下追赶方程：
Qj?Sj?1?Tj?1Qj?1
Zj?1?Pj?1?Vj?1Qj?1 L1,L1+1,…L2-1） （2）
由边界条件ZL1?ZL1(t)?PL1?VL1QL1可推出PL1?ZL1(t)，VL1?0 把（2）式中的Zj表达式代入（1）式得：
?Qj?Cj(Pj?VjQj)?Qj?1?CjZj?1?Dj
EjQj?Fj(Pj?VjQj)?GjQj?1?FjZj?1??j
设Qj?1为自由变量，可解得追赶系数P，V，S，T如下：
Sj?1?CjY2?FjY1FjY3
Tj?1?CjGj?FjFjY3?CjY4
Pj?1?Y1?Y3Sj?1CjY3Tj?1?1Cj10
Vj?1?