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1．直线l1到l2的角θ满足 ．
2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足 ．
（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．
（五）五种常用的直线系方程.
① 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋?(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2). ② 与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m (m≠b). ③ 过定点(x0, y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.
④ 与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C). ⑤ 与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0). 典型例题 例2. 已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为?，求直线l的方程． 4解：由??x?2y?0?3x?4y?10?0解得l1和l2的交点坐标为(2，－1)，因为直线l3的斜率为k3＝，l与
25l3的夹角为?4，所以直线l的斜率存在. 设所求直线l的方程为y＋1＝k(x－2)． 52k则tan?4＝k?k31?kk3k?＝1?52＝1 ?k＝或k＝－，故所求直线l的方程为y＋1＝－(x－2)或y＋1＝73337737(x－2)即7x＋3y＋
11＝0或3x－7y－13＝0 变式训练2. 某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为?,tan?=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC
21最大（不计此人的身高）？?
解 如图所示，建立平面直角坐标系，?
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则A（200，0），B（0，220），C（0，300）.? 直线l的方程为y=(x-200)tan?,则y=设点P的坐标为（x,y），则P（x, 由经过两点的直线的斜率公式?
x?200x?2002.?
x?2002）(x＞200).?
kPC=2xx?200?300?x?8002x,? kPB=2x?220?x?6402x.? 由直线PC到直线PB的角的公式得? 160kPB?kPC1?kPB·kPC2xx?800x?6401?·2x2x64x?160?640x?288?tan∠BPC=? =64xx?288x?160?640?? (x＞200).? 要使tan∠BPC达到最大，只需x+x+160?640x160?640x-288达到最小，由均值不等式? -288≥2160?640-288,? 当且仅当x=160?640x时上式取得等号.? 故当x=320时，tan∠BPC最大.? 这时，点P的纵坐标y为y=由此实际问题知0＜∠BPC＜
320?2002=60.?
?2,所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大.故当此人距水平地面
60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.
例3. 直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．
解：因为直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线，所以CA、CB所在直线关于y＝2x对称，而
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A(－4, 2)关于直线y＝2x对称点A1必在CB边所在直线上 设A1(x1，y1)则
?y1?2?2??1??x1?(?4)?x1?4?y1?2?2??2?2 得??x1?4?y1??2
即A1(4, －2)
由A1(4, －2)，B(3, 1)求得CB边所在直线的方程为：3x＋y－10＝0 又由??y?2x?3x?y?10?0 解得C(2, 4)
又可求得：kBC＝－3，kAC＝1 3∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形 变式训练3.三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a的取值范围。 解：a∈R且a≠±1，a≠-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。 （1）若l1、l2、l3相交于同一点，则l1与l2的交点（-a-1，1）在直线l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此时a=1或a= -2。 1（2）若l1∥l2，则-1 = - ，a=1。 a（3）若l1∥l3，则-1 = - a，a=1。 1（4）若l2∥l3，则- = -a，a= ±1。） a例4. 设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使小，并求出这个最小值． 解：设点A关于直线l的对称点A'的坐标为(a，b)，则由AA′⊥l和AA′被l平分， ?b?53???1??a?34则??3?a?3?4?b?5?4?0?22?PA?PB为最
解之得a＝3，b＝－3，∴A′＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|
＝5
13
15?32?3∵kA′B＝
＝－18
∴A′B的方程为y＋3＝－18(x－3) 解方程组??3x?4y?4?0?y?3??18(x?3)得P(，3)
38变式训练4：已知过点A（1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点，
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过P、Q作直线2x＋y＝0的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值． 解：设l的方程为y－1＝－m(x－1)， 则P（1＋
1m，0），Q（0，1＋m）
m?1m从则直线PR：x－2y－＝0；
直线QS：x－2y＋2(m＋1)＝0 又PR∥QS ∴ | RS |＝
|2m?2?1?52m51m|＝
3?2m?51m
又| PR |＝2?，| QS |＝m?15 而四边形PRSQ为直角梯形， ∴ SPRSQ＝＝(m＋51121m×(2?2m?m?155180)×13?2m?59241m 180＋)2－49≥(2＋5)－ ＝3.6 ∴ 四边形PRSQ的面积的最小值为3.6． 小结归纳 1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直． 2．注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决． 3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法． 4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4
第3课时 线性规划
基础过关 1．二元一次不等式表示的平面区域．
⑴ 一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线．
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⑵ 对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x、y)使得Ax＋By＋C的值符号相同．因此，如果直线Ax＋By＋C＝0一侧的点使Ax＋By＋C>0，另一侧的点就使Ax＋By＋C<0，所以判定不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax＋By＋C＝0的一侧任意取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域． ⑶ 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． 2．线性规划 ⑴ 基本概念 名 称 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意 义 由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x、y的约束条件 关于x、y的解析式如：z＝2x＋y，z＝x＋y等 关于x、y的一次解析式 满足线性约束条件x、y的解（x，y）叫做可行解 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 22⑵ 用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ① 设出所求的未知数；② 列出约束条件(即不等式组)；③ 建立目标函数；④ 作出可行域和目标函数的等值线；⑤ 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解．（有些实际问题应注意其整解性） 典型例题 例1. 若△ABC的三个顶点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC区域（含边界）表示的二元一次不等式组．
解：由两点式得AB、BC、CA直线的方程并化简得AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0，CA：2x＋y－5＝0
?x?2y?1?0?结合区域图易得不等式组为?x?y?2?0?2x?y?5?0?
变式训练1： △ABC的三个顶点为A(2，4)、B(－1，2)、C(1，0)，则△ABC的内部(含边界)
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